Bonjour aidez moi svp : Soit les points A(1;2) ; B(5.-1) ; C(-4;7) et D(4;1) Questions : 1) Calculer les coordonnée des vecteurs AB et CD puis montrer qu'ils sont colinéaires. 2) Que peut-ont en deduire ? 3) Soit E(13;-7). Calculer les coordonnées du vecteur AE 4) Montrer que E, A et B sont alignés. 5) Déterminer le Réel K vérifiant Vecteur AE= k vecteur CD. En déduire la nature du quadrilatère AEDC. Justifier votre reponse.

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Réponses

2013-08-19T17:52:42+02:00

N.B. :   sauf indication contraire, AB désigne le vecteur AB (et non la longueur)

 

 

1)   Si l'on a    A(1 ; 2)   et    B(5 ; −1),

      les coordonnées du vecteur AB sont  (xB − xA ; yB − yA)

      d'où  (5 − 1 ; −1 − 2)

      soit     AB(4 ; −3)

 

 

     Si l'on a    C(−4 ; 7)   et    D(4 ; 1),

     les coordonnées du vecteur CD sont  (xD − xC ; yD − yC)

     d'où  (4 + 4 ; 1 − 7)

     soit     CD(8 ; −6)

 

     Or comme  xAB ⋅ yCD  =  4 × −6  =  −24

           et que  yAB ⋅ xCD  =  −3 × 8  =  −24

     les deux vecteurs AB et CD sont collinéaires.

 

 

 

2)   Comme les vecteurs AB et CD sont collinéaires, les droites AB et CD sont parallèles.

 

 

 

3)   Si l'on a    A(1 ; 2)   et    E(13 ; −7),

      les coordonnées du vecteur AE sont  (xE − xA ; yE − yA)

      d'où  (13 − 1 ; −7 − 2)

      soit     AE(12 ; −9)

 

 

 

4)   Comme  xAB ⋅ yAE  =  4 × −9  =  −36

        et que  yAB ⋅ xAE  =  −3 × 12  =  −36

     les deux vecteurs AB et AE sont collinéaires.

 

     le point A étant commun a ces deux vecteurs collinéaires, A, B et E sont alignés.

 

 

 

5)   Si l'on a   AE(12 ; −9)   et   CD(8 ; −6)

      comme    xAE/xCD  =  12/8  =  3/2

      et que      yAE/yCD  =  −9/−6  =  3/2

      on a donc   AE = 3/2 CD

 

     Les deux vecteurs AE et CD sont collinéaires

      les droites (AE) et (CD) sont donc parallèles.

    Comme de plus k ≠ 1 la longueur des deux vecteurs est différente

     et les droites (AC) et (ED) ne sont donc pas parallèles.

 

    Le quadrilatère AEDC ayant deux côtés parallèles est donc un trapèze.

 

     


Errata : D'une part il faut rectifier l'orthographe de colinéaire* et d'autre part la phrase « Comme de plus k ≠ ±1 (ou |k| ≠ 1) la longueur des deux vecteurs est différente… » par l'ajout du “±” puisque la longueur est indépendante du sens du vecteur.