Bonsoir,

J'aimerais que vous m'aidez pour trouver comment résoudre cet exercice le plus rapidement possible, merci d'avance.

On veut résoudre dans R l'inéquation x<1/x (x supérieur ou égal à 1 divisé par x)

1) Le faire graphiquement, à l'aide de tracés de fo,ctions de référence.

2) Le faire algébriquement, en justifiant l'inéquation x <1/x 0(où x est supérieur ou égal) est équivalente à l'inéquation [(x-1)(x+1)]/x le tout supérieur ou égal à 0.

Merci de vos reponses

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Réponses

Meilleure réponse !
2013-08-01T23:12:09+02:00

1)    Cf. le graphique joint.

       

       On voit graphiquement

        que les solutions de l'inéquation     x  ≤  1/x    pour tout     x  ∈   IR*    sont :

 

                                                     x  ∈  ] −∞ ; −1 ] ⋃ ] 0 ; 1 ]

 

 

 

2)    Si l'on a :                    x  ≤  1/x                    pour tout x  ∈  IR*

 

 

 a.   on a                           x²  ≤  1                       pour tout x  >  0

       soit                      x² − 1  ≤  0

       d'où       (x − 1) (x + 1)  ≤  0

 

       Or pour    x  ∈  IR⁺* :

       —   (x − 1) (x + 1)    est strictement négatif seulement pour    x  ∈  ] 0 ; 1 [

                     où  (x − 1) et (x + 1) sont de signe contraire,

       —   et x est nul pour    x  =  1

 

       Les solutions pour    x  ∈  IR⁺*   sont donc   x  ∈  ] 0 ; 1 ]  

 

 

 b.   on a                           x²  ≥  1                       pour tout x  <  0 

       soit                      x² − 1  ≥  0

       d'où       (x − 1) (x + 1)  ≥  0

 

       Or pour    x  ∈  IR⁻* :

       —   (x − 1) (x + 1)    est strictement positif seulement pour    x  ∈  ] −∞ ; −1 [

                     où  (x − 1) et (x + 1) sont de même signe,

       —   et x est nul pour    x  =  −1

 

        Les solutions pour    x  ∈  IR⁻*   sont donc   x  ∈  ] −∞ ; −1 ]  

 

 

 c.   L'ensemble des solutions est donc :            x  ∈  ] −∞ ; −1 ] ⋃ ] 0 ; 1 ]