Réponses

2013-07-24T11:45:10+02:00

1)    Comme    f₁(x)  =  x² - 2x - 2,

 

       sa dérivée    f₁'(x)  =  2x - 2

 

       qui est négative pour tout    x  ≤  1
               et positive pour tout    x  ≥  1

 

       f₁ est donc décroissante pour tout    x  ≤  1
                       et croissante pour tout    x  ≥  1


      Cf. fichier joint (courbe rouge).

 

 


2)

 

a)    Pour que la droite 2x + m ait des points communs avec Γ, il faut que :

 

                                   x² - 2x - 2  =  2x + m

 

       soit que        x² - 4x - (2 + m)  =  0

 

       Or, cette équation    g(x)  =  x² - 4x - (2 + m)

       n'a des racines que si son discriminant Δ ≥ 0

 

       soit si    (-4)² - 4(1)(- 2 - m)  ≥  0

 

       d'où si           16 + 8 + 4m  ≥  0

 

       donc si                         m  ≥  6

 

 

b)    Comme les points M' et M" communs à Γ, et D sont les racines de l'équation   g(x)  =  0

 

       soit   x² - 4x - (2 + m) = 0

 

       les coordonnées de I, milieu de [M'M"] sont celles du milieu des racines du trinôme.

 

       Or la somme des racines de ce trinôme étant : - b/a  =  [(4 - √Δ)/2 + (4 + √Δ)/2]

                                                                                    =  8/2

                                                                                    =  4

 

       En abscisse, le milieu de ce segment correspondant à la moitié de la somme de ses racines a donc pour valeur :    4 ÷ 2  =  2.

 

       Comme pour x = 2, on a :

 

                          (2)² - 4(2) - 2 - m  =  4 - 8 - 2 - m

                                                    =  -6 - m

                                                    =  -(6 + m)

 

       Les coordonnées du point I, milieu de [M'M"] sont donc : (2 ; -6 - m)

 


c)    L'ensemble des points I quand m varie correspond à l'ensemble des points (2 ; -6 - m).

 

       Or tous ces points ont pour x = 2 pour abscisse commune.

 

       L'ensemble des points I quand m varie est donc la droite d'équation x = 2.

 

 

       [Tout le point 2 est confirmé par le graphique :

            g₀ (en bleu)  étant la courbe d'équation   x² - 4x - 2 + 0

            les autres des variations de cette équation par différentes valeurs de m

            et la droite verticale la droite d'équation x = 2]