Bonjour j'ai un petit exercice de maths et j'ai répondu a toute les question mais quand j'ai voulu tracé l'orthocentre a la partie C sa ma donner quelque chose de bizarre...je c'est pas si c'est une erreur de calcul...

Pouviez vous me montrer comme tracer l'orthocentre?

Merci a vous.

On considère un cercle de centre O, et 3 points A,B et C sur ce cercle formant un triangle quelconque.
On appelle A' le milieu de [BC],B' le milieu de [CA],C' le milieu de [AB].

Partie A


1)Faire une figure
2)Que représentent pour ABC le point O ainsi que les droites (OA'),(OB'), et (OC')??


3)Montrer que pour tout point M, (1) (Vect)MB +(Vect)MC=2(Vect)MA' Et (2) (Vect)MA +(Vect)MB=2(Vect)MC'

Partie B

On considère le centre de gravité G de ABC et le point P tel que:VectAP=2/3VectAA'

1)Montrer que : (Vect)AB +(Vect)AC=2(Vect) AA' puis que (Vect)PA+(Vect)PB+(Vect)PC=(Vect)0
5)Montrer que vectPA+VectPB=2VectPC' puis que VectPC=-2VectPC '
6)En deduire que P et G sont confondus, puis que G vérifie:
Vect Ga+VectGB +VectGC=Vect0

et 3 Vect OG=VectOA+VectOB+VectOC

Compléter la figure.

Partie C
On considère l'orthocentre H de ABC et le point K tel que: vectOK=VectOA+VectOB+VectOC

8) Montrer que : Vect OB +VECTOC=2vectOA' puis que vectAK=2OA'
9)En deduire que (AK) et (BC) sont perpendiculaires,puis que (BK) et (AC) sont aussi perpendiculaires
10)En deduire que K et H sont confondus, puis que H vérifie: vectOH=VectOA+VectOB+VectOC
11)Compléter la figure

1

Réponses

Meilleure réponse !
2013-07-21T14:15:02+02:00

Cette réponse est certifiée

×
Les réponses certifiées contiennent des informations fiables et sérieuses attestées par une équipe d'experts triés sur le volet. Brainly propose des millions de réponses de haute qualité, toutes soigneusement modérées par les membres les plus fiables de notre communauté, mais les réponses certifiées frôlent l'excellence.

N.B. : sauf indication contraire, comprendre :

         AB comme le vecteur AB,

    et    0 comme le vecteur 0.

 ------------------------------------------------------------------

 

On considère un cercle de centre O, et 3 points A,B et C sur ce cercle formant un triangle quelconque. 
On appelle A' le milieu de [BC],B' le milieu de [CA],C' le milieu de [AB].

 

 

Partie A


1)   Faire une figure.

      

      Cf. fichier joint

 

 

2)   Que représentent pour ABC le point O ainsi que les droites (OA'),(OB'), et (OC') ?

 

      Le point O étant le centre du cercle circonscrit au triangle ABC représente le point où concourent les trois médiatrices des côtés du triangle ABC, c'est à dire le point d'intersection des droites (OA'),(OB'), et (OC').

 

 


3)   Montrer que pour tout point M,  (1)   MB + MC  =  2 MA'

                                             Et   (2)   MA + MB  =  2 MC'

 

      Puisque A' est le milieu de [BC], on a :    A'B  =  CA'  =  -A'C


         MB + MC  =  MA' + A'B + MA' + A'C
                         =  2 MA' + A'B + A'C
                         =  2 MA' - A'C + A'C

 

                         =  2 MA'

      Par le même raisonnement, on prouve que :
  

          MA + MB  =  2 MC'

 

 

 

Partie B

 

On considère le centre de gravité G de ABC et le point P tel que :    AP  = 2/3 AA'

 

4)   Montrer que :   AB + AC  =  2 AA'    puis que    PA + PB + PC  =  0

 

          AB + AC  =  2 AA + A'B + A'C

                         =  2 AA' - A'C + A'C
                         =  2 AA'

         Et :

         PA + PB + PC  =  PA + PA + AB + PA + AC
                                 =  3 PA + 2 AA'
                                 =  3 × 2/3 A'A + 2 AA'
                                 =  2 A'A + 2 AA'
                                 =  0

 

 

5)   Montrer que PA + PB  =  2 PC'   puis que   PC  = -2 PC ' 

 

         PA + PB  =  PC' + C'A + PC' + C'B
                        =  2 PC' + C'A + C'B
                        =  2 PC' + C'A - C'A
                        =  2 PC'

         PC  =  PA + PB + PC - PA - PB
                =  0 - 2 PC'

                = -2 PC'

 

 

6)  En deduire que P et G sont confondus,

     puis que G vérifie : GA+GB + GC  =  0

                       et        3 OG  =  OA + OB + OC

 

         Puisque   PC  =  -2 PC',  on a :   CP  =  2/3 CC'.

 

        Or le centre de gravité se trouve par définition à cet endroit.

 

        Donc P et G sont confondus.


       Et comme PA + PB + PC = 0

             et que P et G sont le même point,             GA + GB + GC = 0

 

       De plus :   OA + OB + OC  =  3 OG + GA + GB + GC

                                                =  3 OG + 0

                                                =  3 OG

 

 

 

         Compléter la figure.

         

         Cf. fichier joint.

 

 

 

Partie C

 

On considère l'orthocentre H de ABC et le point K tel que:   OK  =  OA + OB + OC 

8)   Montrer que :   OB + OC  =  2 OA'   puis que   AK  =  2 OA'

 

      OB + OC  =  OA' + A'B + OA' + A'C

                      =  2 OA' - A'C + A'C

                      =  2 OA'


       AK  =  OK - OA

             =  OA + OB + OC - OA
             =  OB + OC
             =  2 OA'

 


9)   En deduire que (AK) et (BC) sont perpendiculaires,puis que (BK) et (AC) sont aussi perpendiculaires.

       

     Comme (OA') est la médiatrice du segment [BC], elle lui est nécessairement perpendiculaire.


     Et comme nous venons de démontrer que AK est collinéaire à OA', (AK) est donc aussi perpendiculaire à (BC)

   

     Par le même raisonnement, on prouve que (BK) est perpendiculaire à (AC)

 

 

10)   En deduire que K et H sont confondus, puis que H vérifie :   OH  =  OA + OB + OC  

 

       Comme (AK) est la perpendiculaire à (BC) passant par A et (BK) la perpendiculaire à (AC) passant par B, (AK) et (BK) sont deux droites confondues avec les hauteurs du triangle ABC.


      Or deux hauteurs d'un triangle se coupent à l'orthocentre de ce triangle.

 

      K est donc confondu avec H l'orthocentre du triangle ABC.

      Et comme :   OK  =  OA + OB + OC

      et que K et H sont confondus, on a aussi :    OH  =   OA + OB + OC

 


11)  Compléter la figure

 

      Cf. fichier joint.

 

 

 

Partie D

 

12)   Que peut-on conclure quant à la position de O,H et G ?

 

       Comme on a :   3 OG  =  OA + OB + OC

 

       et que               OH  =  OA + OB + OC

 

       les vecteurs OG et OH sont collinéaires.

       Ces deux vecteurs ayant de plus le point O en commun, sont sur la même droite.

 

       Donc O, H et G sont alignés dans cet ordre.