Bonjour, comment démontrer que la suite u_n=(1*3*5*...*(2n-1))/(2*4*6*...*(2n)) converge vers 0. On me donne en indice de montrer que 0 < u_n < 1/ racine (2n+1) mais je n'arrive pas au bout de l'hérédité de la récurrence. Merci !!

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Réponses

  • Utilisateur Brainly
2013-07-20T08:24:22+02:00

u_n=(1*3*5*...*(2n-1))/(2*4*6*...*(2n))

       =(1*2*3*...*(2n-1)*(2n))/(2² *4² *6² *...* (2n)²)

       =((2n)!)/((n!)²*2^(2n))

 

u_1=1/2=0,5

u_2=3/8=0,375

u_3=5/16=0,3125

u_4=35/128=0,273438

u_5=63/256=0,246094

 

on conjecture que :

* u est décroissante

* u est convergente vers 0

 

on montre par récurrence que : 0<u_n<1/√(2n+1) :

 

* Initialisation : u_1=1/2 donc 0<u_1<1/√(2*1+1)

 

* Hérédité : on suppose qu'il existe n tel que 0<u_n<1/√(2n+1)

    donc 0<((2n)!)/((n!)²*2^(2n))<1/√(2n+1)

    donc 0*(2n+1)/(4(n+1)²)<*(2n+1)/(4(n+1)²)((2n)!)/((n!)²*2^(2n))<(2n+1)/(4(n+1)²)/√(2n+1)

    donc 0<((2n+1)!)/((n+1)!)²*2^(2n+2))<√(2n+1)/(4(n+1)²)

    donc 0<((2n+1)!)/((n+1)!)²*2^(2n+2))<1/√(2n+3)

    donc 0<u_(n+1)<1/√(2n+3)

 

* Conclusion : ∀ n ∈ IN : 0<u_n<1/√(2n+1)

 

or la suite (1/√(2n+1)) est décroissante et convergente vers 0

d'après le th des "gendarmes" : u converge aussi vers 0

 

de plus, u_n=Γ(n+1/2)/(√π * Γ(n+1))Γ est la fonction "Gamma d'EULER"