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2013-07-18T20:41:15+02:00

Comme l'aire du trapèze se calcule par :           A  =  (B + b)/2 × h
L'aire de du trapèze ABCM est donc :                 A  =  (AB + CM)/2 × AD
                                                                                         =  (AB - DM/2) × AD

 

Le volume du prisme se calcule donc par :        V  =  (B + b)/2 × h × l
Le volume de AMCBENGF sera ainsi :               V  =  (AB + CM)/2 × AD × AE
                                                                                         =  (AB - DM/2) × AD × AE

 

 

Partie I
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On a    AB = 12 cm    et     AE = 10 cm

 

                   V  =  (12 - DM/2) × AD × 10
                        =  (120 - DM/5) × AD

 

Comme les deux conditions sont : 1°)   CM  ≥  9 cm ;

                                                              2°)       V  ≥  102 cm² 

 

Or   CM  =  DC - DM

                =  12 - DM

 

Donc si    CM  ≥  9    on a    12 - DM  ≥  9    soit     DM  ≤  3

 

La première condition est donc réalisée pour   DM  =  1,6 cm  <  3 cm

 

Et avec    AD  =  0,8 cm    et    DM  =  1,6 cm,    on a :

 

                 V  =  (120 - 1,6/5) × 0,8
                      =  (120 - 0,32) × 0,8
                      =  119,68 × 0,8
                      =  95,744  <  102

 

La deuxième condition n'est donc pas réalisée dans ces conditions.

 

 

 

 

Partie II
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1)   a.   Comme     CM  =  DC - DM

                                         =   12 - 2x

 

             On a donc    CM  ≥  9    si    12 - 2x  ≥  9    soit si    x  ≤  3/2

 

             La condition n.1 implique donc que x  ≤  1,5

 

 

      b.   Avec    AD  =  x    et    DM  =  2x    l'aire du trapèze ABCM en fonction de x est :

 

                                    A  =  (AB - DM/2) × AD
                                         =  (12 - DM/2) × AD
                                         =  (12 - 2x/2) × x
                                         =  12x - x²

 


      c.   Le volume de l'étui AMCBENGR en fonction de x est donc :

 

                                    V  =  (AB - DM/2) × AD × AE
                                         =  (12x - x²) × 10

                                         =  120x - 10x²

 


      d.   Puisque le volume de l'étui donc être supérieur ou égal à 102 cm², il faut donc que :

 

                                          120x - 10x²  ≥  102

 

 


2)   a.   La formule de la cellule B6 est :

 

                                           =120*A6-10*A6*A6
              ou :

                                           =120*A6-10*A6^2

 


      b.   Cf. fichier joint.

 

 

      c.   Cf. autre fichier joint.

 

 

      d.   On voit graphiquement que la condition n. 2 est remplie pour une valeur minimale de x située vers 0,92.

             Nous avons déterminé précédemment que la condition n. 1 est remplie pour :

 

                                                           x  ≤  1,5.

 

            Les conditions voules sont donc remplies pour une valeur de x qui se situe approximativement dans l'ensemble [0,92 ; 1,5]

 

 


3)   Grâce au tableur, on s'aperçoit que la valeur minimale de x permettant de remplir la condition n. 2 est environ de 0,92 (à 0,01 près par défaut).