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2013-07-12T01:02:04+02:00

1.11   a)   Soit x le nombre de jours de travail du père, et y le gain d'un jour du père. On a donc :

                  —   le salaire du père est       xy  =  880 

                  —   le salaire du fils est          (x - 5) (y - 8)  =  400

 

                 Soit le système suivant :

 

                 { xy  =  880

                 { (x - 5) (y - 8)  =  400

 

                 { y  =  880 : x

                 { (y - 8)  =  400 : (x - 5)

 

                 { y  =  880 : x

                 { y  =  400 : (x - 5) + 8

 

                 { y  =  880 : x

                 { y  =  (400 + 8(x - 5)) : (x - 5)

 

                 { y  =  880 : x

                 { y  =  (400 + 8x - 40) : (x - 5)

 

                 { y  =  880 : x

                 { y  =  (8x + 360) : (x - 5)

 

                 Ce qui donne, par association :      (8x + 360) : (x - 5)  =  880 : x

 

                                                                               (8x + 360)x  =  880 (x - 5)

 

                                                                               8x² + 360x  =  880x - 4400

 

                                                                               8x² + 360x  -  880x + 4400  =  0

 

                                                                               8x² - 520x + 4400  =  0

 

                                                                               8(x² - 65x + 550)  =  0

 

                                                                               8(x² - 65x + 550)  =  0

 

                                                                               x² - 65x + 550  =  0

 

                 Le discriminant de cette équation est 65² - 4(1)(550)  =  2025  et est strictement positif et √2025 = 45 donc l'équation admet 2 solutions réélles :

                 —   soit   x  =  (65 + 45) / 2 = 55

                 —   soit   x  =  (65 − 45) / 2 = 10

 

                 Or comme y  =  880 : x, pour :

                 —   x  =  55   on a   y = 880 : 55  =  16

                 —   x  =  10   on a   y = 880 : 10  =  88 

 

                [Vérification :   (55 - 5) (16 - 8)  =  50 × 8  =  400  et   55 × 16  =  880

                                          (10 - 5) (88 - 8)  =  5 × 80  =  400   et    10 × 88  =  880 ]

 

                On a donc deux solutions :

                —   soit le nombre de jours de travail du père est de 55 pour un salaire de 16 euros de l'heure

                                                                             ceux du fils de est 50 pour un salaire de 8 euros de l'heure, 

                —   soit le nombre de jours de travail du père est de 10 pour un salaire de 88 euros de l'heure

                                                                             ceux du fils de est 5 pour un salaire de 80 euros de l'heure,

 

 

 

 

           b)   Soit x le nombre de personnes, et y la somme perçue par chacun d'eux avant la non-présentation des 6 personnes. On a donc :

                  —   avant, nous avions           380 : x  =  y

                  —   après, nous avons            380 : (x - 6)  =  (y + 3,80)


                 Soit le système suivant :

 

                 { 380 : x  =  y

                 { 380 : (x - 6)  =  (y + 3,80)

 

                 { 380 : x  =  y

                 { 380 : (x - 6) - 3,80  =  y

 

                 { 380 : x  =  y

                 { (380 - 3,80(x - 6)) : (x - 6)  =  y

 

                 { 380 : x  =  y

                 { (380 - 3,80x + 22,8) : (x - 6)  =  y

 

                 { 380 : x  =  y

                 { (-3,80x + 402,8) : (x - 6)  =  y

 

                 Ce qui donne, par association :      (-3,80x + 402,8) : (x - 6)  =  380 : x

 

                                                                               (-3,80x + 402,8)x = 380(x - 6)

 

                                                                               -3,80x² + 402,8x = 380x - 2280

 

                                                                               -3,80x² + 402,8x - 380x + 2280  =  0


                                                                               -3,80x² + 22,8x + 2280  =  0

 

                                                                               3,8(-x² + 6x + 600)  =  0

 

                                                                               -x² + 6x + 600  =  0

 

                   Le discriminant de cette équation est 6² - 4(-1)(600)  =  2436  et est strictement positif donc l'équation admet 2 solutions réélles :

                 —   soit   x  =  (-6 + √(2436)) / (-2)  ≈  -21.678

                 —   soit   x  =  (-6 − √(2436)) / (-2)  ≈  27.678

 

                  [Vérification :  { 380 : x  =  y                            ⇔     380 : 27,7  ≈  13,7

                                         { 380 : (x - 6)  =  (y + 3,80)

                                                      ⇔     380 : (27,7 - 6)  =  380 : 21,7  ≈  17,5  =  13,7 + 3,8

                                         { 380 : x  =  y                            ⇔     380 : -21,7  ≈  -17,5

                                         { 380 : (x - 6)  =  (y + 3,80)

                                                      ⇔     380 : (-21,7 - 6)  =  380 : -27,7  ≈  -13,7  =  -17,5 + 3,8]

 

                 Or la première solution est impossible car un nombre d'individus négatif est impossible. Il reste donc comme solution x ≈ 27,7  et y = 380 : x ≈ 13,7  

                 Cependant comme un nombre de personnes ne peut pas ne pas être entier, on doit dire :

                 —   soit qu'il y avait 28 personnes qui devaient toucher chacune 13,57 € et qu'il y a eu 22 personnes qui ont touché chacune 17,27 € (≠ 13,57 € + 3,8 €), ce qui ne correspond pas à l'énoncé, mais est le résultat cohérent le plus proche possible ;

                 —   ou plutôt qu'il n'y a donc aucune solution.