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2013-07-07T23:52:00+02:00

       b.   Croissante   —   ≤   —   Décroissante   —   ≥   —   Égale   —   ≤

 

 

       c.   Même texte, en changeant sur ]0 ; 1] en [1 ; +∞[

             et, dans les trous :   Croissante   —   ≥   —   Décroissante   —   ≤   —   Égale   —   ≥

 

 

 

3.   a.   x² + x + 1  =  x² + 2 x/2 + 1/4 + 3/4
                               =  (x + 1/2)² + 3/4

       

                    x³ - 1  =  x³ + x² - x² + x - x - 1
                               =  x³ + x² + x - x² - x - 1
                               =  x(x² + x + 1) - (x² - x - 1)
                               =  (x - 1) (x² + x + 1)

 

 

     b.    On a :   x² + x + 1 = (x + 1/2)² + 3/4

            Or   (x + 1/2)² ≥ 0 pour tout x ∈ IR   ⇔   (x + 1/2)² + 3/4 > 0 pour tout x ∈ IR

            Donc   x² + x + 1 est positif pour tout x ∈ IR.

 

 

    c.    On a :   x³ - 1 = (x - 1) (x² + x + 1)

           Or on vient de montrer que x² + x + 1 est toujours positif, aussi (x - 1) (x² + x + 1) a le signe de x - 1.

           Donc le signe de x³ - 1 est le même que celui de x - 1 et sera négatif pour tout x ≤ 1 et positif pour tout x ≥ 1.

 

           Ce qui donne le tableau suivant :

 

                                x  |  -∞           1           +∞|
                         x³ - 1  |        -        0      +        |

 

 

     d.    x² - 1/x  =  (x³ - 1)/x
                          =  (x - 1) (x² + x + 1)/x

 

 

    e.   On a donc le tableau de signes suivant :

 

                              x  | -∞          0         1         +∞|
                       x³ - 1  |            -             0      +      |
                              x  |        -      0            +           |
                    x² - 1/x  |       +      ||    -   0      +       |

 

         Ce qui nous apprend que :
            —   x² > 1/x   pour tout x ∈ IR - ]0 ; 1[ ;
            —   x² < 1/x   pour pour x ∈ ]0 ; 1[ ;
            —   x² = 1/x   pour x = 1.

            —   1/x  n'existe pas pour x = 0, contrairement à x².