Réponses

  • Utilisateur Brainly
2013-06-11T14:45:12+02:00

f(x)=xln(x)-1

 

1) a) lim(x),+∞)=+∞ et lim(ln(x),+∞)=+∞ donc par produit lim(f(x),+∞)=+∞

 

b) on pose le changement de variables : X=1/x donc

f(x)=f(1/X)=1/Xln(1/X)-1=-1/X*ln(X)-1

lim(f(x),0+)=lim(f(X),+∞)=0-1=-1

 

2) f est dérivable sur ]0;+∞[

f'(x)=1*ln(x)+x*1/x

      =ln(x)+1

f'(x)=0 si x=1/e

f'(x)<0 si x<1/e

f'(x)>0 si x<1/e

 

donc f est décroissante sur ]0;1/e] et croissante sur [1/e;+∞[

 

3) a) On applique le th des valeurs intermédiaires :

* f est strict croissante sur [1;2]

* f est continue sur [1;2]

* f(1)=-1<0 et f(2)≈0,38>0

donc l'équation f(x)=0 possède une unique solution α ∈ [1;2]

 

b) on applique l'algorithme de convergence de Newton

ainsi α ≈ 1,763 à 0,001 pres

 

4) d'apres le tableau de variation de f et du 3) on obtient le signe de f(x) :

* f(x)=0 si x=α

* f(x)<0 si x<α

* f(x)>0 si x>α

 

5) f(α)=0 donc α*ln(α)-1=0

donc α*ln(α)=1

donc ln(α)=1/α