La piscine de Monsieur Dujardin a la forme d'un prisme droit dont la base ABCD est un trapèze rectangle.



On donne : AB = 14 m, AE = 5 m, AD = 1,80 m, BC = 0,80 m.
Sur le schéma ci-dessus, les dimensions ne sont pas respectées.
On rappelle les formules suivantes :
Aire d'un trapèze =
Volume d'un prisme = (Aire de la base) × hauteur.

Partie A

1. Montrer que le volume de cette piscine est 91 m3.

2. A la fin de l'été, M. Dujardin vide sa piscine à l'aide d'une pompe dont le débit est 5 m3 par heure.
a) Calculer le nombre de m3 d'eau restant dans la piscine au bout de 5 heures.
b) On admet que le nombre de m3 d'eau restant dans la piscine au bout de heures est donné par la fonction affine définie par : .
Sur la feuille de papier millimétré, construire un repère orthogonal tel que :
en abscisse, 1 cm représente 1 heure,
en ordonnée, 1 cm représente 5 m3.
Représenter graphiquement la fonction dans ce repère.
c) Par lecture graphique, déterminer le nombre d'heures nécessaires pour qu'il ne reste que 56 m3 d'eau dans cette piscine.
d) Par lecture graphique, déterminer le nombre d'heures nécessaires pour vider complètement la piscine.
e) Retrouver ce dernier résultat par le calcul. Donner cette durée en heures et minutes.

Partie B

M. Dujardin doit clôturer sa piscine, en laissant autour une distance de 1,25 m comme le montre le schéma ci-dessous.



1. Calculer les distances IJ et JK en cm.

2. Pour réaliser la clôture, il souhaite utiliser un nombre entier de panneaux rectangulaires identiques, dont la longueur a est un nombre entier de centimètres, le plus grand possible.
Expliquer pourquoi a est le PGCD de 750 et 1650.

3. Calculer la valeur de a, en indiquant la méthode utilisée.

4. Combien faudra-t-il de panneaux pour clôturer la piscine ?

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Réponses

2013-05-25T21:40:52+02:00

Partie A

1) Le volume d’un prisme se calcule par la formule : V = Aire de la basehauteur.

Pour la piscine, on a : V = Aire(ABCD)AE.

L’aire d’un trapèze se calcule par la formule : où b est la petite base, B la grande base et h la hauteur du trapèze.

On en déduit que V = == 2,675 = 91 m 3.

2) a) Au bout de 5 heures, il reste dans la piscine : 91 – 55 = 91 – 25 = 66 m 3.

b) f est une fonction affine qui n’existe que pour des x positifs. Sa représentation graphique est une droite qui passe par les points (0 ; 91) et (5 ; 66)

c) D’après le graphique, il ne reste que 56 m3 d’eau dans la piscine au bout de 7 heures.

d) D’après le graphique, il ne reste plus d’eau dans la piscine au bout d’environ 18 h 15 min.

eCela revient à résoudre l’équation : 91 – 5x = 0, d’où 91 = 5 x.

La solution est : x = = 18,2. Donc il ne reste plus d’eau dans la piscine au bout de 18,2 h.

18,2 h = (18 + 2) h et h = 60 min = 6 min donc 18,2 h = 18 h 12 min.

                                                                                                     

Partie B

1)IJ = EA + 21,25 = 5 + 2,5 = 7,5 m

JK = EF + 21,25 = 14 + 2,5 = 16,5 m

2) 7,5 m = 750 cm et 16,5 m = 1650 cm.

La longueur a est un nombre entier et on veut utiliser un nombre entier de panneaux alors a doit être à la fois un diviseur de 750 et un diviseur de 1650 et le plus grand. Donc a est le PGCD de 750 et 1650.

3)Calcul de a par la méthode de l’algorithme d’Euclide :

étape

1er nombre

2d nombre

reste

1

1650

750

150

2

750

150

0

Donc le PGCD de 1650 et 750 est 150.

= 5 et = 11.

On en déduit qu’on a besoin de 5 panneaux pour chaque largeur et de 11 panneaux pour chaque longueur.

Donc, au total, il faudra : 52 + 112 = 10 + 22 = 32 panneaux.