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2013-05-24T18:34:07+02:00

Coucou,

 

Une fonction du second degré a une expression algébrique du type : 

f(x) = ax² +bx +c.

 

On doit déterminer les valeurs de a, b et c, sachant que f(-2) = f(4) = 0.

 

f(-2) = 0 <=> (-2)²a +(-2)b + c = 0 <=> 4a - 2b + c = 0 (1)
f(4) = 0 <=> 4²a + 4b + c = 0 <=> 16a + 4b + c = 0 (2)

 

D'après l'équation (1), on trouve c = 2b - 4a

Donc dans l'équation (2), on remplace c par 2b - 4a : 

16a + 4b + 2b - 4a = 0 <=> 12a + 6b = 0 <=> b = -12a/6 <=> b = -2a

 

On peut alors dire la chose suivante pour la c :  

c = 2b - 4a    or b= -2a

   = 2*(-2a) - 4a

   = - 4a - 4a

   = - 8a

 

Donc on a : 

f(x) = ax² + bx + c   or b= -2a et c= -8a

     = a- 2ax - 8a

     = a (x² -2x -8)

 

 

f(x) admet pour maximum la valeur 3, revient à dire que  x est le milieu de l'intervalle [-2,4], autrement dit x = (-2 + 4)/2 :

x = (-2 + 4)/2 = 2/2 = 1

Donc on obtient f(1) = 3.

 

f(x) = a (x² -2x -8)   or f(1) = 3

f(1) = a(1²-2x1 -8) = 3

a(-9) = 3

a =- 1/3


On peut alors remplacer toutes les lettres par les valeurs qu'on a trouvées :

f(x) = -1/3 x² -2/3x -8/3.

 

Voilà :)