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  • Utilisateur Brainly
2013-05-08T14:49:28+02:00

pour plus de simplicité toutes les écritures seront vectorielles :

 

1) A'B=pA'C=pA'B+pBC

donc A'B=p/(1-p)BC

 

de même : qB'A=B'C=B'A+AC

donc B'A=1/(q-1)AC

 

aussi : rC'B=C'A=C'B+BA

donc C'B=1/(1-r)BA

 

2) dans le repère (A,AB,AC) on  a:

A'(1/(p-1);p/(p-1)

 

B'(0;1/(1-q))

 

C'(r/(1-r);0)

 

donc B'C'(r/(1-r);1/(q-1))

 

et A'B'(1/(1-p);1/(1-q)-p/(p-1))

 

A4,B',C' sont alignés si les vecteurs B'C' et A'B' sont colinéaires

donc r/(1-r)(1/(1-q)-p/(p-1))=1/(q-1)*(1/(1-p)

donc r/(1-r)(pq-1)/((1-q)(p-1))=1/((q-1)(1-p))

donc (pqr-r)/((1-r)(1-p)(1-q))=1/((1-q)(1-p))

donc pqr-r=1-r

donc pqr=1

 

d'où le th de Menelaüs