1) Etudier les variations de la fonction F(x)=x+1/x sur l'intervalle ]0;+Oo[

2) En déduire que f(x) > ou égal à 2

3) Redémontrer, par une méthode purement algébrique, que

x+1/x > ou égal à 2 pour tout x strictement positif

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Réponses

  • Utilisateur Brainly
2013-04-27T18:33:12+02:00

1) Etudier les variations de la fonction f(x)=x+1/x sur l'intervalle ]0;+∞[

f'(x)=1-1/x²

      =(1-x²)/x²

      =(1-x)(1+x)/x²

 

f'(x)>0 si (1-x)(1+x)>0

           donc x>1 (car x positif...)

 

donc f est décroissante sur ]0;1]

f est croissante sur [1;+∞[

 

2) En déduire que f(x) ≥ 2

f admet un minimum en car f(1)=2 donc f(x) ≥ 2 sur ]0;+∞[  

3) Redémontrer, par une méthode purement algébrique, que

x+1/x ≥ 2 pour tout x strictement positif

x+1/x≥2 donc x²+1≥2x

               donc x²-2x+1≥0

               donc (x-1)²≥0

               x ∈ ]0;+∞[