Le gardien d'un phare (point A) doit rejoindre le plus rapidement possible sa maison côtière (point B). Il se déplace en canot à la vitesse de 4 km/h et à pied à la vitesse de 5 km/h. Où doit-il accoster (point P) pour que le temps de parcours soit minimal? La côte est supposée rectiligne. Une longueur est de 9 km et celle en allant vers la maison est de 15 km ( le tout fait un triangle)

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Réponses

2013-04-22T19:04:34+02:00
  • Utilisateur Brainly
2013-04-22T19:19:17+02:00

Par règle de trois tu déduis que le gardien parcourt, en canot, 1 km en 1/4h et cette même distance, à pied, lui prendra 1/5h.


Le chemin suivi par le gardien se divise en deux temps:  le temps t1 pour aller de A à M soit le temps pour parcourir l'hypoténuse du triangle MAH, rectangle en H ajouté au temps t2 pour aller de M à B et parcourir le restant HB - x.

 

La mesure de l'hypoténuse, en fonction des données que l'on possède, s'exprimant par:  √(9 au carré + x au carré). La première partie du chemin étant effectuée sur mer, point de vue temps, on peut donc poser:  t1 = √(9 au carré + x au carré)/ 4.

 

La seconde partie du chemin se faisant par voie terrestre, on aura alors t2 = (15 - x)/ 5. La fonction f(x) représentant le temps de parcours à minimiser sera par conséquent:  f'x) = t1 + t2 = √(81 + x au carré)/ 4  +  (15 - x)/ 5.

 

Afin de connaître le minimum de f, tu vas en calculer la dérivée et voir pour quelle valeur de x celle-ci s'annule!


Dérivée de f:   f'(x) = (√(81 + x au carré)/ 4 + (15 - x)/ 5)'

                           = (√81 + x au carré)/ 4)' + ((15 - x)/ 5)'

                           = 1/4 (√81 + x au carré)' + 1/5 (15 - x)'

                           = 1/4 (81 + x au carré)' / 2√(81 + x au carré)   +   1/5 fois (-1)

                           = 1/4 fois 2x /  2√(81 + x au carré)   -  1/5

                           = 1/4 fois x / √(81 + x au carré)  -  1/5.


f'(x) = 0 => 1/4 fois x / √(81 + x au carré)  -  1/5 = 0
            => x / √(81 + x au carré) = 4/5
or x étant une longueur... x > 0;  ce qui nous donne le droit d'élever au carré les membres de notre équation.

 

On obtient ainsi:  x au carré / (81 + x au carré) = (4/5) au carré, soit  x au carré / (81 + x au carré) = 16/25.


Il résulte du produit en croiX que:   x au carré = 16 (81 + x au carré)/ 25
et par distributivité de la multiplication par rapport à l'addition dans lR:  x au carré =  [16 fois 81 + 16 (x au carré)] / 25

 

x au carré = [1296 + 16 (x au carré)] / 25 = 1296/25 + 16/25 (x au carré)
en regroupant les "carrés",  x au carré - (16/25 (x au carré)) = 1296/25

 

en appliquant derechef la distributivité, (1 - 16/25) (x au carré) = 1296/25
et donc 9/25 (x au carré) = 1296/25

 

en simplifiant par 25 on se retrouve avec:  9(x au carré) = 1296
(<)=> x au carré = 1296/9 = 144.

 

D'où x = +√144 = 12.