Bonjour,

Je cherche de l'aide pour comprendre cet exercice. Je n'ai pas eu de cours et je n'y comprends rien. Merci d'avance pour votre aide.

On admet que le nombre phi vérifie l'égalité : phi²=phi+1.

Question 1 : Montrer que 1/phi=phi-1.

Question 2 : Montrer que phi³=2phi+1 et que phi puissance4=3phi+2.

Question 3 : Exprimer phi puissance 5 en fonction de phi.

Question 4 : A l'aide d'une calculatrice, montrer que 1,618 est une valeur approchée d'une solution de l'équation x²=x+1.

Question 5 : A l'aide d'une calculatrice, vérifier l'expression phi puissance 5 trouvée à la question 2 avec phi=1,618.

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Réponses

Meilleure réponse !
2013-04-21T10:28:37+02:00

Pour simplifier, je vais mettre p au lieu de phi.

1) 1/p=p-1

Multiplie de chaque côté par p, tu obtiens

1=p²-p , tu passe le p de l'aute coté

p+1=p² 

 


2) p^3=p²*p=(p+1)*p=p²+p. Or p²=p+1 D'où

p^3=p+1+p=2p+1

 

 


p^4=p^3*p=(2p+1)*p=2p²+p. Or p²=p+1 D'où
p^4=2(p+1)+p=2p+2+p=3p+2

3)p^5=p^4*p=(3p+2)*p=3p²+2p. Or p²=p+1 D'où
p^5=3(p+1)+2p=3p+3+2p=5p+3

4) Si x²=x+1 , alors x²-x-1=0

Donc dans ta calculatrice tape :
(1.618)²-(1.618)-1

Tu obtiens -0.000076 

Ce qui est proche de 0, donc 1.618 st bien une valeur approchée d'une solution de l'équation x²=x+1

5) 1.618^5 ≈ 11.090 

5*1.618+3 = 11.09

Les résultats sont à peu près égaux, on a donc trouvé la bonne expression de p^5


 A titre informatif, ce nombre φ est appelé "nombre d'or" puisqu'il permet la création de proportions parfaites. Sa valeur exacte est

 

\frac{1+\sqrt(5)}{2}