On munit le plan d'un repère orthonormé direct (O ; i ; j).

A tout entier n on associe le point M_{n} du cercle de centre O et de rayon \frac{8}{2^{n}} tel que (i ; OM_{n}) = n\frac{\pi}{2}.

1. (a) En prenant un centimètre (ou un carreau) comme unité, comstruire les points M_{0}, M_{1}, M_{2} et M_{3}, .

(b) quelles sont les coordonnées de ces points dans le repère (O ; i ; j) ?

2. (a) Quelle est la nature du triangle OM_{n}M_{n+1} ? Justifier.

(b) A l'aide di theoreme de Pythagore, démontrer que M_{n}M_{n+1 = \frac{8\sqrt{5}}{2^{n+1}}

3. On considere la suite (Un) définie, pour tout n appartenant à N, par Un = M_{n}M_{n+1}.

Démontrer que la suite (Un) est une suite géométrique, dont on précisera la raison et le terme initial.

4. On pose, pour tout n appartenant à N, l_{n} = \sum_{i=0}^{n}u_{i} = u_{0} + u_{1} + ... + u_{n}.

Démontrer que, pour tout n appartenant à N, l_{n}=8\sqrt{5}(1-\frac{1}{2^{n+1}}).

UN GRAND MERCI A CEUX QUI M'AIDERONT !!!

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Réponses

Meilleure réponse !
  • Utilisateur Brainly
2013-04-17T19:46:14+02:00

M0(8,0) M1(0,4) M2(-2,0) M3(0,-1)

 

le triangle est rectangle en O et donc (M_{n}M_{n+1})^2 = (OM_n)^2+(OM_{n+1})^2=(8/2^n)^2+(8/(2^{n+1})^2

soit (8/2^{n+1})^2*(4+1)=(8/2^n)*5

d'où la valeur  M_{n}M_{n+1} = \frac{8\sqrt{5}}{2^{n+1}}

ce nombre est le terme général de U géométrique de raison 1/2 avec U0=4V5

 

la somme de ses n premiers termes vaut donc 4\sqrt5(1-1/2^{n+1})/(1-1/2)

soit l_n = 8\sqrt5(1-1/2^{n+1})