Des pucerons envahissent une roseraie. Des coccinelles, prédateurs des pucerons, sont introduites dans cette roseraie. On s'intéresse à l'évolution du nombre de pucerons ( exprimé en milliers ) présents dans la roseraie en fonction de la durée t écoulée depuis l'introduction des coccinelles. On note f cette fonction et t cette durée. L'unité de durée est la journée. Lorsque l'on introduit les coccinelles, on a donc t = 0. Des études ont montré que le nombre de pucerons ( exprimé en milliers ), en fonction de la durée t écoulée depuis l'introduction des coccinelles, était modélisé par la fonction définie, pour tout nombre réel t appartient à l'intervalle [0;20]; par : f(t) = 0,003t3-0,12t²+1,1t+2,1. Information donnée : On assimile la vitesse de prolifération des pucerons à l'instant t au nombre dérivé de f en t : la vitesse instantanée est f'(t).

1) Quel est le nombre de pucerons au moment où les coccinelles sont introduites dans cette roseraie ?

2)a/ Exprimer la vitesse de prolifération des pucerons en fonction de t. Etudier son signe sur l'intervalle [0;20]. Interpréter le résultat.

b/ Etudier les variations de f sur [0;20]. Après l'introduction des prédateurs, au bout de combien de jour le nombre de pucerons va-t-il commencer à diminuer ?

3) On estime que les pucerons ne posent plus de problème dès que leur nombre est devenu inférieur à 1000. A l'aide d'une calculatrice, déterminer au bout de combien de jours ce seuil sera atteint.

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Réponses

2013-03-31T23:48:02+02:00

1) f(0) = 2.1

 

2) a/ f'(t) = 0.009t² - 0.24t + 1.1

         delta = 0.018