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2013-03-23T10:17:17+01:00

Exo105:

1) a) 0 < x < 1
          1 < 1 + x^n < 2
         0 < ln(1 + x^n) < ln(2)
         0 < In < ln(2)
b) x^n > x^(n+1)
     ln(1 + x^n) > ln(1 + x^(n+1))
                 In > I(n+1)
        (In) est decroissante
c) (In) deroissante et minoree par 0
       alors elle converge
2) a) g'(x) = 1/(1+x) -1 = -x/(1+x) < 0 
    donc g est decroissante sur [0;+oo[
b) g(0) = 0 alors pour tut x de [0;+oo[, g(x) <= 0
c) pour tout n dans R* et pour tout x de [0;+oo[, on a
                                 x^n >= 0
    donc g(x^n) <= 0
    par suite ln(1 + x^n) - x^n <= 0
3) In <= [x^(n+1) /(n+1)]
     0 <= In <= 1/(n+1)
     or 1/(n+1) converge vers 0, donc (In) converge aussi vers 0.