EXERCICE 3

On dispose pour construire une boite sans couvercle d'une feuille metallique carrée de 30 cm de coté

On enleve danschaque coin de cette feuille, un carré de x centimetres de coté

En pliant suivant les pointillés on releve alors les 4 bords et on obtient ainsi une boite parallélepipedique

1) Pourquoi a t on 0<ou egale X < ou egale 15

2) Exprimer en fonction de x le longueur AB , AC et AD

3) On rappelle que le volume d'un parallélépipede est egal au produit de ses trois dimensions: V= longueur x largeurx hauteur

Montrer que le volume de la boite est egal (en cm cube) à 4xcube - 120 X²+900x

4) On pose F(x) = 4Xcube - 120 X² + 900 X

a) calculer la derivée de la fonction F

b) Dresser le tableau de variation de la fonction F sur l'intervalle (0; 15)

c) En deduire que le volume de la boite est maximal pour une valeur de x que l'on precisera. Quel est ce volume maximal?

2

Réponses

2012-06-15T19:10:17+02:00

bonjour

 

1)

x est une mesure, donc positive

si x >15 , il n'y a plus de fond à la boite.

 

2) je suppose que AB , AC et AD représentent les 3 dimensions

dimensions de la base carrée = 30 - 2x

hauteur  = x

 

3) V= (30 - 2x)² * x =  4x³ - 120 x²+900x --- après développement

 

4) f(x) = 4x³ - 120 x²+ 900x

a) f ' (x) = 12x² - 240 x + 900 fonction trinome

b) Dresser le tableau de variation de la fonction F sur l'intervalle (0; 15)

on étudie le signe de la derivée :

f ‘(x) = 0 <=> 12x² - 240 x + 900 = 0 <=> x² -20x + 75 = 0

delta = 100, V(delta) = 10 ;  x1 = 5 et x2 = 15 

 

f ‘ est négative entre ses 2 racines, positive à l’extérieur

 

tableau de variation de  f

x   :       0              5                   15

_______________________________

f’(x) :        +          0          -          0

_______________________________

f(x):   0//mont.//2000// desc     //   0

 

c) la fonction f atteint un extremum local lorsque sa dérivée s'annule et change de signe.

soit en x1 =5 (maximum) et x2=15 (minimum)

le volume maximal est donc f(5 ) = 2000 cm³.

2012-06-15T19:31:52+02:00

1) puisqu'on a une feuille carré de 30 cm de côté et que l'on enlève dans chaque coin un carré de côté x  il nous restera coté = 30 - 2x  donc si x est supérieur à 15 cm on a plus de feuille

2) en découpant les carrés dans chaque coin on obtient comme forme la croix du drapeau suisse  qui représente donc la valeur de  longueur 30 - 2x    de largeur 30 - 2x et de hauteur x  

son volume est donc    (30 - 2x) ( 30 - 2x ) x   

                                  ( 900 - 60x - 60x  + 2x² ) x

                                   900x - 120x² + 900x     

j'espère t'avoir un peu aidé