Bonjour, j'ai besoin d'aide pour un devoir de maths sur les dérivations. Je n'y arrive vraiment pas. Merci d'avance pour votre aide. Exercice: Dans une usine de produits alimentaires, une machine fabriquant de la moutarde est utilisée 12 heures par jour, en continu. La fonction f, définie sur [0;10]par: f(t)= -t³+ 12t²+72t, représente la production totale de moutarde apres t heures de fonctionnement. La dérivée de f, f'(t), représente la production marginale de cytet machine apres t heures d'utilisation. 1°) a)Determiner f'(t). Déterminer la dérivée de la production marginale notée g(t). b) Etudier la production marginale et montrer qu'elle admet un maximum atteint en t0=4. En déduire le signe de la production marginale f'(t). c) A l'aide de la question précédente, justifier que la production totale est croissante sur [0;10]. d) Visualiser la courbe de la production totale à l'écran d'une calculatrice avec Y∈[0;1300]. 2°) Sur l'intervalle ou la production marginale est croissante, on parle de " phase de rendements croissants". Sur l'intervalle ou la production marginale est décroissante on parle de "phase de rendements décroissants". A l'instant t0 , ou la production marginale change de sens de variation , le point I d'abscisse t0 de la courbe C de la production totale est un point d'inflexion. a)Indiquer les deux phases et le point d'inflexion I pour cette production. b) Determiner l'équation réduite de la tangente T à la courbe C au point d'inflexion I sous la forme y=h(t). c) Etudier le signe de la différence f(t)-h(t) sur l'intervalle [0;10]. On vérifiera que: f(t)-h(t)=-(t-4)³. Justifier la phrase:" Au point d'inflexion, la courbe traverse sa tangente

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Réponses

2013-03-04T18:04:44+01:00
1) a) f'(t) = -3t(au carré) + 24t + 72
g(t) = f''(t) = -6t + 24

b) g(t) > 0
-6t + 24 > 0
6t < 24
t < 4
Donc g(t) > 0 pour t < 4
D'où g(t) < 0 pour t > 4
Tu peux faire un tableau de signes ( tu calcules g(t) = 0 pour savoir où la dérivée s'annule --> g(t)=0 revient a dire que -6t + 24 = 0 et donc que t=4 DONC g(4) = 0 )
f'(t) est la production marginale
Donc f'(t) est croissante sur [-infini ; 4] et décroissante sur [4 ; +infini]. (On déduit ça grâce au signe de la dérivée, c'est-à-dire g(t) )
La dérivée g(t) s'annule en changeant de signe en t = 0. Donc f'(t) (la production marginale) admet un maximum (tu peux le voir sur le tableau de signes, si tu l'as fait) en 0 qui vaut 4.

Signe de la production marginale et donc de f'(t):
f'(t) = -3t(au carré) + 24t + 72
On cherche le discriminant:
Delta = b(au carré) - 4ac
Delta = 24(au carré) - 4 (-3) (72) = 576 + 864 = 1440
Delta > 0 donc ce polynôme admet deux racines:
t' = (-b - racine de delta) / 2a
t' = (-24 - racine de 1440) / 2 (-3)
t' = 4 + 2 (racine de 10)
t' = 10,325 environ
t'' = 4 - 2 (racine de 10)
t'' = -2,325 environ.

f'(t) est donc positive sur [-2,325 ; 10, 325] et négative sur [-infini ; -2,325] U [10,325 ; +infini]

Dis moi si tu comprends quelque chose et si tu veux je continue :)