Bonjours, j'ai un exercice à faire en DM pour mercredi et je n'ai pas compris. Pouvez-vous m'aider silvouplait, merci. Voici l'énoncé : Une entreprise produit des appareils électroménagers. Le coût de production de x appareils est donné en euros par C(x)=x²+50x+100 pour 5 plus petit ou égal à x plus petit ou égal à 40. 1.L'entreprise vend chaque appareil 100 euros. Quel est le prix de vente de x appareils? 2.Le bénéfice est égal à la différence entre le prix de vente et le coût de production. a) Montrer que le bénéfice réalisé par la fabrication et la vente de x objets est égal à B(x)=-x²+50x-100 pour x appartenant à l'intervalle [5;40]. b) Calculer le bénéfice réalisé par la fabrication et la vente de 10 objets, puis de 40 objets. c) Quel est le nombre d'appareils à produire pour que le bénéfice de l'entreprise soit maximal? 3. Proposer un algorithme pour répondre à la question 2c sans utiliser la question 2b. Je vous remercie d'avance.

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Réponses

2013-02-18T20:47:40+01:00

coût horaire de production de x appareils : C(x) = x² + 50x + 100 ---------- : 5 <= x <= 40

cout de vente en € ; de x appareils : V(x) = 100x

a)
B(x) = V(x) - C(x) ------------ x € [ 5 ; 40 ]

= 100x - (x² + 50x + 100)

= 100x - x² - 50x - 100

= -x² + 50x - 100

b)
B'(x) = -2x + 50

= -2(x - 25)

B'(x) = 0 ----> -2(x - 25) = 0

--> x - 25 = 0 

--> x = 25

tableau de signes :
x ---------- (5) ---------------------- (25) -------------------- (40)
-2 ---------------------- ( - ) ------------------- ( - ) ------
x - 25 ---------------- ( - ) ---------- 0 ----- ( + ) -----
B'(x) ------------------ ( + ) --------- 0 ----- ( - ) -----

B(x) -------f(5) -- croissante -- f(25) --- décrois -- f(40)

on vois bien que la courbe est croissante puis décroissante sur [ 5 ; 40]
donc la fonction admet un maximum au point d'abscisse x = 25
25 appareils est le nombre d'appareils à produire pour que le bénéfice soit maximal !


2)
Coût moyen de production :

f(x) = C(x) / x

a)
f(x) = (x² + 50x + 100) / x

= x + 50 + (100/x)


f '(x) = [(x² + 50x + 100)' * (x) - (x)' * (x² + 50x + 100)] / x²

= [(2x + 50) * (x) - 1 * (x² + 50x + 100)] / x²

= (2x² + 50x - x² - 50x - 100) / x²

= (x² - 100) / x² ------------ 100 = 10²

= (x² - 10²) / x² ----------- a² - b² = (a - b)(a + b) avec ici a = x et b = 10

= (x - 10)(x + 10) / x²

b)
f '(x) = 0 

-> (x - 10)(x + 10) / x² = 0

--> (x - 10)(x + 10) = 0

x - 10 = 0 --> x = 10
et oi
x + 10 = 0 --> x = -10

tableau de variations :
x --------- (5) ----------------- (10) -------------------- (40)
(x - 10) ------------- ( - ) ------ 0 ------- ( + ) ----
(x + 10) ------------ ( + ) --------------- ( + ) ----
1/x² ------------------ ( + ) --------------- ( + ) -----
f '(x) ----------------- ( - ) ------ 0 ------- ( + ) ----
f (x) ---- f(5) --- décrois -- f(10) --- croiss ---- f(40)

c)
la courbe est décroissante pour redevenir croissante au point d'abscisse x = 10

donc la fonction admet un minimum en ce point !

le coût moyen est minimal lorsque x = 10

3)
le bénéfice max est lorsque x = 25.