Sujet : Bonjour, J'ai un problème en maths: Pour tout n entier naturel, avec n>2, on veut déterminer l'écriture décimale de la somme de tous les n-chiffres On appelle n-chiffre un entier naturel composé de n chiffres Exemples: 123 et 334 sont deux 3-chiffres la somme de tous les 3-chiffres est égale à 494550 la somme de tous les 6-chiffres est égale à 494 999 550 000 Où j'en suis : Pour 3 chiffres on a: Le premier nombre de 3 chiffres est: 100 Le dernier est: 999 Il y a donc: 999+1-100=900 nombres de 3 chiffres. Leur somme est donc par la propriété de la somme des termes d'une suite arithmétique de raison r=1: ((999+100)/2)*900 = 494500 (Le premier résultat est démontré pour les 3-chiffres, il en est de même pour les 6-chiffres, les 8-chiffres, etc etc). Pour les n-chiffres: Le premier nombre à n chiffres est: 10^(n-1) Le dernier est: 10^(n)-1 Il y a de 10^(n-1) à 10^(n): 10^(n)-1-10^(n+1)+1 = 10^(n)-10^(n-1) Leur somme est donc de: ((10^(n)+10^(n-1))/2)*9*10^(n-1) La conjecture est donc que l'on retrouve un nombre alpha 494 9...9 550...0 Avec justement un nombre n-3 de 9 et un nombre n-2 de zéros dans ce nombre alpha. Je ne vois pas comment passer de ma suite au nombre alpha. Aidez moi je vous en supplie! Une formule du cours dit que: u0+u1+u2+...un= (n+1)*u0+(n(n+1)/2)*r où r désigne la raison. Sauf que dans ce cas, la suite commence pour tout n>2, donc à u3. Je bloque car je ne trouve pas comment faire pour passer de là à la suite énoncée plus haut. J'ai vraiment besoin d'aide. Merci beaucoup :)

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Réponses

2013-02-07T20:15:20+01:00

La somme des n chiffres est la somme d'une suite numérique de raison 1 comprenant 9*10n-1 termes et dont le premier terme vaut 10n-1 et le dernier 10n-1 ce qui fait que Un a pour  expression :

un=9*10(n - 1)*(10(n - 1) + 10n - 1)/2