bonjour ça fait plusieurs heures que je travaille sur cet exercice mais je n'y arrive pas alors j'aimerai un peu d'aide svp , et merci d'avance. Dans un repère orthonormé (O;I;J), on donne les points A(4;1), B(0;5), et C(-2;1) 1. Construisez le cercle C de centre I circonscrit au triangle ABC.(j'ai réussi à faire cette question) 2. Calculez les coordonnées du point I ainsi que le rayon du cercle C .

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Réponses

2012-04-13T19:48:40+02:00

Premièrement, assure toi de bien tracer ton triangle, afin d'avoir une bonne vision géométrique. Pour la résolution du calcul de I, voici comment faire:

 

La propriété du centre du cercle circonscrit au triangle est d'être l'intersection des 3 médiatrices du triangle (2 suffiront à trouver i). Rappel: une médiatrice passe par le milieu d'un coté et lui est perpendiculaire

 

Le premier coté du triangle, joignant A à C à donc son milieu en A+C/2, c'est à dire (1,1). Le coté étant horizontal, sa perpendiculaire est donc la droite verticale x=1

 

Prenons maintenant le coté AB. son milieu se trouve en (A+B)/2; c'est à dire en ((4,1)+(0,5))/2 =(4,6)/2 =(2,3) et le vecteur BA a pour coordonnées (4,-4) = 4(1,-1)

Un vecteur perpendiculaire à ce vecteur est (1,1)

 

On n'a pas encore trouvé la deuxième médiatrice! On sait qu'elle est de la forme y=pente *x + b. Or, elle est portée par (1,1), sa pente vaut donc 1. De plus, elle passe par (2,3), on a donc, en remplacant dans l'équation x par 2 et y par 3,

3=1*2+b <=> b=1, c'est l'ordonnée à l'origine

 

Pour trouver le centre du cercle, on fait donc l'intersection de la droite x=1 avec la droite y=x+1, on trouve le point (1,2). 

 

Le rayon du cercle est donné par la distance du centre à un des points du cercle, mais on en connait 3, ce sont A, B et C ! (on a construit le cercle exprès). Prenons A, le rayon est donc donné par la longueur de IA = (3,-1)

Par Pythagore R² = 3²+1²=9+1=10

donc R= racine carrée de 10