Réponses

2013-02-02T01:45:42+01:00

1.a. Chaque article est vendu 120 euros, la recette est donc de R(q) = 120q

1.b. facile à faire

1.c. Il y a bénéfices lorsque la courbe des recettes dépasse cette du cout de fabrication. Le nombre d'articles à fabriquer est donc l'abscisse du point d'intersection de la courbe et de la droite.
2.a. Bénéfice = recettes - couts = R(q) - C(q) = 120q -(2q² + 20q +800) =-2q² + 100q - 800 2.b. : On a B(q) = aq² + bq + c avec a=-2 ; b=+100 et c=-800.
On utilise le discriminant : \Delta = b^2 - 4ac d'où \Delta = 100^2 - 4(-2)(-800)
On trouve donc \Delta = 3600 = 60^2
Or les racines de l'équation B(q)=0 sont q_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et q_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} d'où q_{1}=40 et q_{2}=10
On peut donc écrire B(q)=-2(q-10)(q-40)
2.c. Pour avoir B(q) positif, il faut que (q-10) et (q-40) soient de signes différents (à cause du - dans l'équation précédente). Or q-10\leq 0 pour q\leq 10 et q-40 \leq 0 lorsque q \leq 40. Donc, sur l'intervalle [0;50], B(q) est positif sur [10;40]
3.a. B(q)= -2q² + 100q - 800  = -2q² +100q - 1250 + 450 = -2(q² - 50q + 625) or 50=2*25 et 625 = 25² donc on retrouve une identité remarquable : q² - 2*25*q + 25² = (q - 25)²
Le maximum de B aura lieu pour  -2(q - 25)² maximal, ce qui est le cas lorque q=25 et dans ce cas B(25)= 450 euros.
Voilà !