SHABCD est une pyramide régulière à base carré qui a pour hauteur SH =21cm ; son volume est de 847cm cube. 1) Calculer la longueur des arrêtes de base. 2) Calculer les longueurs des diagonales de sa base (valeur exactes) 3) H est le pied de la hauteur de la pyramide. Quelle est la nature du triangle SAH? Calculer la longueur des arrêtes latérales . 4) Calculer la longueur totale des arêtes de la pyramide. On donnera la valeur exacte puis l'arrondi au centième de cm/ 5) On considère la section de cette pyramide par un plan parallèle à sa base passant par le point H' de [SH] tel que SH'=5cm. Quelle est la nature de la section obtenue? Calculer le volume de la pyramide obtenue après réduction

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Réponses

2012-05-17T17:46:46+02:00

1) Soit V le volume de la pyramide.

B l'aire de sa base.

h, sa hauteur.

On a :

V = ⅓*B*h

Donc B = 3V/h = 3*847/21 = 121 cm²

Or, la base de la pyramide est un carré.

On posant c la longueur du côté du carré, on a :

c² = B ( formule de l'aire d'un carré)

Donc c = √B = √121 = 11 cm puisque c ≥ 0 ( c'est une longueur )

 

2) Dans le carré ABCD de côté AB = 11cm, les diagonales sont égales ( c'est un carré ).

On applique alors le théorème de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en B par exemple, et on trouve :

AC² = AB² + BC² = 121+121 = 242

AC = √242 = 11√2 cm puisque AC ≥ 0

Les diagonales de sa base font alors 11√2 cm chacune.

 

3) H étant le pied de la pyramide SHABCD, alors le triangle SAH est rectangle en H.

On a SH = 21 cm. Et AH = AC/2 = 5.5√2 cm.

On applique le théorème de Pythagore dans le triangle SAH rectangle en H, d'où :

SA² = SH²+AH² = 21²+(5.5√2)² = 501.5

SA = √501.5 cm

Les arrêtes latérales étant égales, elles font toutes √501.5 cm.

 

4)Soit S la longueur totale des arêtes de la pyramide, on a :

S = 4SA + 4AB = 4(√501.5 + 11) = 133.58 cm.

 

5) La section obtenue est un carré.

Ce carré a pour côté c' = (5/21)*11 = 55/21 cm.

Son aire A' est alors de : A' = (55/21)² = 3025/441.

Et le volume V' de cette pyramide est alors de :

V' = (1/3)*(3025/441)*5 = 11.43 cm³

 

FIN