Une légende oriantale raconte q'un souverain voulut recompensé l'imveneur des echec Sissa. Sissa lui demanda un grain de blé sur la premiere case , deux grains de blé sur la 2eme, 4grains pour la troisieme , et ainssi doubler le nombre de grains pour les cases successives. Le roi compta donc : 1 grain pour la premiere 2grains pour la deuxieme 2x2 pour la 3 et 2x2x2 pour la 4 case etc...( un echéquier comporte64 cases)

1) combien de grains de blé lui faudra t'il en tout ?

2)a l'aide de la calculette donne un ordre de grandeur a ce nombre en moyene

10 grains pesent 1 gramme

3) quel masse totale de blé faudrait t'il au roi ?

4) la production de blé de son royaume est de 500 000 quintaux par ans.combien d'anné lui faudrait il pour tenir sa promesse ?

5) rechercher la poduction annuelle mondiale de blé actuel.serait il possible de tenir une telle promesse aujourdui ?

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Réponses

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2012-04-14T06:45:55+02:00

Bonjour,

 

Pour répondre à la première question, soit tu t'armes d'une infinie patience et tu calcules tout à la calculatrice, soit tu essaies de trouver un truc pour calculer directement le nombre de grains... Pour cela, il faut commencer les calculs pour voir si tu peux établir une relation entre le numéro de la case, le nombre de grains posés dessus et le total de grains sur l'échiquier. Faisons un petit tableau :

 

(Voir pièce jointe)

 

Si tu regardes le nombre de grains pour une case et le total précédent, tu verras qu'il y a toujours une différence de 1 entre les deux ! 16=15+1, 8=7+1, 4=3+1, 2=1+1.

Dès lors, on peut établir que le total de grains sur l'échiquier à la case 64 vaut 1 de moins que ce que tu aurais posé sur la 65ième case si elle existait.

 

Pour éviter de multiplier 2 par lui-même sur ta calculatrice 65 fois, tu peux te servir des puissances de 2. C'est simple, 2^2=2x2, 2^3=2x2x2, etc.

Tu peux définir le nombre de grains posés sur une case en comptant le nombre de 2 dans la multiplication et en mettant ce nombre comme exposant de 2 : 5ième case, 4 deux donc 2^4, 4ième case, 3 deux donc 2^3, 3ième case, 2 deux donc 2^2, 2ième case, 1 deux donc 2^1 et enfin à la première case aucun deux donc 2^0.

 

Bref au final, sur la 64ième case tu poses 2^63 grains. Sur la 65ième case l'on aurait posé 2^64 grains donc le total de grains sur l'échiquier est de 2^64-1 grains soit 18.446.744.073.709.600.000

 

Vu la taille du nombre, il est plus simple d'utiliser les puissances de 10 pour l'écrire :

18.446.744.073.709.600.000=1,84467x10^19

 

Si 10 grains pèsent 1g, en divisant le nombre de grains par 10 tu obtiens le poids en gramme : 1,84467x10^18g. Comme 1kg fait 1000g, en divisant par 1000 (enlever 3 à la puissance) tu as le poids en kilo : 1,84467x10^15kg. On peut continue pour mieux se rendre compte : 1,84467x10^12 tonnes soit 1,84467x10^3x10^9=1844,67 milliards de tonnes de blé...

 

500000 quintaux c'est 500000 fois 100kg ou 500000 fois 0,1 tonnes donc 50000 tonnes par an produites par le roi. Divisons 1,84467x10^12 tonnes demandées par 50000 tonnes produites par année et on obtient le temps nécessaire au roi pour tenir sa promesse : 36.893.400 soit plus de 36 millions d'années :P

 

« La production mondiale de tous les types de blés est de 660 millions de tonnes lors de la campagne 2009-2010 » (source wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/Bl%C3%A9#Les_statistiques_de_la_production_mondiale)

 

Soit 660x10^6 tonnes, donc 1,84467x10^12 divisé par 660x10^6 donne 2794,954545455 années pour produire tout ce blé de nos jours...