Pouvez-vous m'aider s'il vous plait, je ne comprend pas du tout les fonctions logarithmes népérien :/

A. f et g sont deux fonctions définies sur [0;+ l'infinie[ par :

f(x)=ln(x+1)-1 et g(x)=ln(x+1)-x+x²/2

1) Etudiez les variations de f et de g

2) Déduisez-en que pour tout x de [0; + l'infinie[

x-x²/2 plus petit ou égale à ln(1+x) plus petit ou égale x [1]

B. La suite (Un) est définie par tout n de N* par:

U1= 3/2 et Un+1 = Un (1+ 1/2^n+1)

1. a) Démontrez par récurrence que pour tout n de N* : Un > 0
b) Démontrez par récurrence que pour tout n de N*:

ln (Un)=ln(1+1/2) + ln (1+1/2²) + ...+ln (1+1/2^n)

2. On pose, pour tout n de N*

Sn=1/2 + 1/2²+ ...+ 1/2^n et Tn= 1/4 + 1/4² +...+1/4^n

a) A l'aide de [1], démontrez que pour tout n de N*

Sn -1/2xTn plus petit ou égale ln(Un) plus petit ou égale Sn

b) Calculez Sn et Tn en fonction de n, et déduisez-en lim(n->+ l'infinie) Sn et lim (même chose) Tn

3. a) Démontrez que la suite (Un) est strictement croissante

b) Déduisez-en que la suite (Un) est convergente. On note l sa limite

4. On admet que si deux suites (Vn) et (Wn) sont convergente et telles que pour tout n de N*, Vn plus petit ou égale à Wn alors: lim (même chose) Vn plus petit ou égale à lim (même chose) Wn

Démontrez que pour tout n de N* ; 5/6 plus petit ou égale (Un) plus petit ou égale à 1. Déduisez-en un encadrement de l


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Réponses

  • Utilisateur Brainly
2013-01-17T17:26:39+01:00

 Pour respecter le 2) il faut étudier f(x)=ln(x+1)-x et pas ce que tu écris !!

 

f(x)=ln(x+1)-x a pour dérivée -x/(x+1) qui est négative sur l'intervalle d'étude R+

g(x)=ln(x+1)-x+x²/2 a pour dérivée 1/(x+1)-1+x soit  x²/(x+1) qui est positive sur R+

ainsi sur R+ f décroit et g croit.

Or f(0)=-1 donc f(x) est négative sur R+ et donc si x>0 ln(x+1)<=x

et g(0)=/2 donc g(x) est positive sur R+ et donc si x>0 x-x²/2<=ln(x+1)

 

U1>0 et si Un>0 alors Un+1 aussi puisque 1+1/2^(n+1) est un nb >0

 

ln(U1)=ln(3/2)=ln(1+1/2) INITIALISATION

si ln(Un)=sigma(ln(1+1/2^k) pour k de 1 à n alors ln(Un+1)=ln(Un)+ln(1+1/2^(n+1) donc Heredite acquise par définition de Un

 

x-x²/2 pour x=1/2^k donne (1/2^k)-(1/2)(1/4^k) donc Sn-(1/2)Tn  est plus petit que la somme 

ln(1+1/2) + ln (1+1/2²) + ...+ln (1+1/2^n) qui vaut ln(Un)

 

Or Sn c'est la somme de n termes succesifs d'une suite géométrique w0=1/2  et q=1/2

et  donc Sn=(1/2)(1-(1/2^(n))/(1/2)=1-1/2^n tend vers 1 a l'infini

 

de même Tn c'est la somme de n termes succesifs d'une suite géométrique y0=1/4 et q=1/4

et  donc Tn=(1/4)(1-(1/4^(n))/(3/4)=(1/3)(1-1/4^n) tend vers 1/3 a l'infini

 

Ln(Un) est une suite croissante et la fonction ln est croissante donc Un est une suite croissante. Comme elles sont bornées, Un converge

 

lim Sn-(1/2)Tn vaut 1-1/6 soit 5/6 et lim Sn=1

Donc dans ta dernière ligne encore une erreur :

Démontrez que pour tout n de N* 5/6  <= ln(Un) <=1.

 

Déduisez-en un encadrement de l l est compris entre exp(5/6) et e