Un conteneur parallélépipédique à basse carrée a un volume de 8 m3. On veut protéger les parois extérieures par un produit anti-rouille.

On note x la longueur de la base et y la hauteur, exprimées en mètres.

1) Exprimer y en fonction de x.

2) Exprimer l'aire totale A(x) des parois extérieures du conteneur en fonction de x.

3)a) Démontrer que, pour tout x: xcube - 8=(x-2)(x²+2x+4)

b) En déduire le signe de xcube - 8

4)a) Etudier le sens de variation de la fonction A sur ]0 ; + infinit[

b) En déduire les dimensions du conteneur qui coûtera le moins cheren produit anti-rouille

1

Réponses

2012-05-15T20:08:05+02:00

1) On a, d'après la formule du volume d'un parallélépipède de base carrée :

8 = x²y

Donc y = 8/x²

 

2) On a 2 faces donc l'aire vaut x² cm²

4 faces dont l'aire vaut xy cm². D'où :

A(x) = 2x²+4xy = 2x²+4x(8/x²) = 2x² + 32/x

 

3)a) On a (x-2)(x²+2x+4) = x³+2x²+4x-2x²-4x-8 = x³-8

b) On a (x²+2x+4) = (x+1)²+3 > 0 Donc x³-8≥0 pour x≥2 et x³-8≤0 pour x≤2.

 

4)a) A(x) est dérivable sur ]0 ; + infini[ et on a :

A'(x) = 4x -32/x²

Or, A'(x) est du signe de (x²/4)*A'(x) = x³-8 puisque (x²/4)≥0

Donc A est décroissante sur ]0;2] et croissante sur [2;+inf[

b) Le produit sera moins cher pour une aire de A minimal, or A est continue donc admet un minimum en x = 2, c'est à dire pour :

A(2) = 8+16 = 24 cm²

 

FIN