Parmi tous les rectangles de périmètre 100 (mètres par exemple), y en a t il dont l'aire est plus grande que les autres ?
On appelle x et y les longueurs des cotés d'un rectangle de périmètre 100 et f(x) l'aire de ce rectangle.
1) Montrer que f(x) = - x2 + 50 x. Justifier que cette fonction est définie sur (0 ; 50).
2) Utiliser la calculatrice pour dresser un tableau de valeurs de la fonction f puis tracer la courbe (Cf).
3) a) Conjecturera valeur M du maximum cette fonction et la valeur m pour laquelle il est atteint.
b) Dresser le tableau de variation de variation de la fonction f.
4) Vérifier par le calcul que f(m) = M et prouver que pour tout x ∈∈

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Réponses

2014-10-27T22:48:05+01:00
Soit x la longueur du rectangle et y la largeur
le périmètre = 2x+2y=2(x+y)=100
donc x+y=50
f(x)=l'aire du rectangle=xy
1) x+y=50 donc y=50-x
donc f(x)=xy=x(50-x)
=50x-xcarré
Si x+y=50 x=50-y  donc x appartient à )0;50(

f(x) =-xcarré+50x    c'est un trinôme de la forme axcarré+bx+c
On sait que dans ce cas , le maximum est atteint pour x=-b/2a
Ici -b/2a=-50/-2=25
f(25)=-625+1250=625
donc m=25  et M=625

x        0                              25                              50

f(x)      0    croissante           625       décroissante    0