ABCD est un carre de cote 3cm
E est le symetrique de A par rapport a B
F est le symetrique de A par rapport a C
faire une figure
delontrer que (BC) et (EF) sont paralleles
calculer les longueurs AE et EF
QUELLE est la nature precise du triangle A E F?

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Réponses

2014-10-24T18:54:13+02:00
Si tu es 3è, tu peux utiliser le theorème de Thalès pour démontrer.
On sait que E est le symétrique de A par rapport à B
Donc, B est le milieu de [AE], soit AB=BE= \frac{1}{2} AE
Alors,  \frac{AB}{AE}= \frac{1}{2}
1) On sait que F est le symétrique de A par rapport à C
Donc, C est le milieu de [AF], soit AC=CF= \frac{1}{2} AF
Alors,  \frac{AC}{AF}= \frac{1}{2}
Donc,  \frac{AB}{AE} = \frac{AC}{AF}
De plus, les points A,B,E et A,C,F sont dans le même ordre, donc d'après le théorème  de Thalès, les droites (BC) et (EF) sont parallèles.

Si tu n'es pas 3è, tu peux utiliser la droite des milieux [BC] du triangle AEF
2)On a: AE=AB+BE=3+3=6 (cm)
D'après le théorème de Pythagore, dans le triangle rectangle ABC en B, on a:
      AB^{2}  + BC^{2} = AC^{2}
donc  AC^{2} = 3^{2} + 3^{2}=18
donc AC=3 \sqrt{2}
On a: AF=AC+CF=3 \sqrt{2} + 3\sqrt{2} =6\sqrt{2} (cm)
3) On sait que: (BC) et (EF) sont parallèles
                  (BC) et (AE) sont perpendiculaires
Si deux droites sont parallèles et si une troisième est perpendiculaire à l'une alors elle est perpendiculaire à l'autre.
Donc, (AE) et (EF) sont perpendiculaire
Alors, le triangle AEF est rectangle en E
D'après le théorème de Pythagore, dans le triangle rectangle AEF en E, on a:
      AE^{2}  + EF^{2} = AF^{2}
donc  6^{2} + EF^{2}=( 6\sqrt{2}  )^{2}
donc  EF^{2}=72-36=36
donc EF=6 (cm)
Dans le triangle AEF, on a: AE=EF
Donc le triangle AEF est isocèle en E
Alors le triangle AEF est rectangle et isocèle en E