Bonjour je suis élève en première S et j'aurais besoin de votre aide pour un exercice que je n'ai pas compris.

1.Déterminer un polynôme P de degré 2 tel que P(x+1)-P(x)=2x et P(0)=0

2. En déduire la somme des n premiers nombres entier pairs non nuls : S=2+4+...+2n

3.En déduire la somme des n premiers nombres entiers non nuls.

1

Réponses

2014-10-19T15:43:27+02:00
Bonjour,

1)
Soit P(x)=ax²+bx+c
Comme P(0)=0=a*0+b*0+c=>c=0
2x=P(x+1)-P(x)=a(x+1)²+b(x+1)-(ax²+bx)=ax²+2ax+a+bx+b-ax²-bx=2ax+a+b
=>2a=2=>a=1
       a+b=0 =>b=-1
P(x)=x²-x

2)
P(1)-P(0)=2*1=2
P(2)-P(1)=2*2=4
P(3)-P(2)=2*3=6
...
P(n-1)-P(n-2)=2(n-2)
P(n)-P(n-1)=2(n-1)
P(n+1)-P(n)=2n
On additionne membre à membre (on simplifie les ternes égaux)
=>P(n+1)-P(0)=2+4+6+..+2n or P(0)=0
Par définition P(n+1)=(n+1)²-(n+1)=n²+n=n(n+1)
=>P(n+1)=n(n+1)=2+4+6+...+2n

3)
de 2 à 2n par pas de 2 (2,4,6,8..,2n), il y a  n termes.
de 2-1 à 2n-1 par pas de 2, il y a n ternes

s3=1+3+5+7+9+..+2n-1
=1+0 + 1+2 + 1+4 + 1+6 +...+ 1+2(n-1)
=1*n+(0+2+4+6+..+2(n-1) )=n+P(n)
=n+(n-1)n=n+n²-n=n²

s2=2+4+6+8+..+2n=n(n+1)

s1=s3+s2=0+1+2+3+4+..+2n=n²+n²+n=n(2n+1).

Vérification:
1+2+3+4+...+2n
2n+..      +4+3+2+1
------------------------
(1+2n)*2n=2S
=>S=n(2n+1)

  





merci beaucoup vous m'avez vraiment aidé
c'est vraiment gentille
A la lumière de votre dialogue, je m'aperçois que je ne donne pas suffisamment de détails dans mes explications.
Je vais tenter d'en donner plus.
Merci Editions.
Merci egalement Caylus
bon succès pour la suite!