Bonjour,
j'ai un devoir maison à faire pour mardi prochain, je ne pense pas que l'enxercice soit très dur mais je viens juste de réaborder le chapitre du coup je suis un peu perdue...
Voici l'énoncé: (je ne veux pas que vous me donniez les réponses mais juste que vous m'aidiez à trouver des pistes pour arriver à faire le bon raisonnement, pour trouver le bon résultat):
f est la fonction définie sur R par : f(x)=x/(x²+x+1)
On note (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé d'unité 10 cm.
1. Etudier les variations de f et tracer la courbe représentative de f sur [0;1].
2. u est la suite définie par u0=1 et pour tout nombre entier naturel n, un+1=f(un). Construire u0,u1,u2 et u3 sur l'axe des abscisses. Que peut-on conjecturer sur le sens de variation et la limite éventuelle de la suite u ?
3.a) Démontrer que, pour tout nombre entier naturel n non nul, 0≤1/(n+1)
b) En déduire par récurrence que pour tout nombre entier naturel n non nul, 0≤un≤1/n
4. Démontrer les conjectures émises au 2.

Merci d'avance à ceux qui répondront! :)

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je n'ai encore rien commencé, je m'embrouille toute seule, je sais qu'il faut faire la dérivée de f(x) pour étudier la variation (pour la question 1) mais je ne suis pas sure de ce que je trouve: f'(x)=1/(2x+1) ?
non la formule de la dérivée d'un quotient c'est (u'v-uv')/v², ça donne donc (1-x²)/(x²+x+1)²; (x²+x+1)²>0 pour tout x, donc la dérivée est du signe de (1-x²)
donc sur 0,1 est est positive, donc f(x) est croissante sur cette intervalle
Ah d'accord.. C'était mal parti déjà.. x)
D'accord merci beaucoup! Je vais essayé de faire le reste et je te redemanderais conseil si je n'y arrive pas!
Je suis bloquée pour le 3.a) je ne vois pas comment arriver au bon résultat alors que je remplace les x de la formule de f(x) par 1/n... Peux-tu m'aider stp?

Réponses

2014-10-12T14:36:29+02:00
3a)
n>=0 donc n+1>=1 donc n+1>0 donc 1/n+1>0
et n+1>=1 donc 1/(n+1)<=1
donc 0<=1/(n+1)<=1
b)
initalisation U0=1<=1/1, donc la propriété est vérifiée au rang 0
hérédité
On suppose que 0≤Uk≤1/n  et on va démontrer qu'alors 0≤U(k+1)≤1/(k+1)
0≤Uk≤1/n
U(k+1)=f(Uk)
On a démontré qu'entre 0 et 1 f(x) est croissante
donc

f(Uk)≤f(1/k)
donc U(k+1)≤
f(1/k)
je ne te mets pas les calculs: f(1/k)=k²/(k²+k+1)
donc U(k+1)≤k²/(k²+k+1)
Maintenant on va montrer que k²/(k²+k+1)<1/(k+1)
Pour cela on va étudier le signe de 1/(k+1)- k²/(k²+k+1)
je ne te mets pas les calculs, ça fait: 1/(k+1)((k²+k+1)
k+1>0 et ((k²+k+1)>0 (delta négatif)
donc 1/(k+1)((k²+k+1)>0
donc k²/(k²+k+1)<1/(k+1)
donc U(k+1)≤k²/(k²+k+1)<1/(k+1)
donc U(k+1)≤1/(k+1)
d'autre part pour tout n, Un>0
Reste à montrer que Un>=0
toujours par récurrence : U0>0
puis si Uk positif alors f(Uk)=U(k+1)>0 (on l'a montré plus haut)
donc Un>0 pour tout n.
On a donc 0≤un≤1/n

4)
0≤un≤1/n
On applique le théorème des gendarmes
lim 0 que n tend vers inf=0
lim 1/n quand n tend vers l'infini=0
donc lim Un quand n inf=0