J'ai moins de 100 pièces.
Si je les regroupe par 2, il m'en reste une.
Si je les regroupe par 3, il m'en reste 2.
Si je les regroupe par 4, il m'en reste 3.
Si je les regroupe par 5, il m'en reste 4.
Combien ai-je de pièces ?

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Réponses

2014-10-08T11:55:45+02:00
Imaginons X comme étant le nombre de pièces que tu as. 
On remarque deux choses importantes: 
1-) (X+1) est multiple de 2 car il reste 2 pièces 
=> donc 0  si on groupe les (X+1) pièces par deux. 
2-) de même si (x+1) est multiple de 3, 4, 5. 

Tu es d'accord avec moi pour dire que tout nombre divisible par 4 est divisible par 2, d'où (X+1) peut se définir comme étant uniquement multiple de 3, 4, 5. 
Ainsi, les x solutions sont multiples de ces 3 nombres. 
C'est là qu'entre en scène le PPCM
Comme 3, 4, 5 sont premiers entre eux (leur PGCD est 1), 
alors le PPCM est => 3 fois 4 fois 5 = 60. 

Les autres communs multiples sont par propriété multiples de 60 et sont donc tous supérieurs à 100. Donc on exclut. OK ?

Je reviens donc à la seule possibilité qui reste par conclusion, soit
(X+1) = 60, ce qui équivaut à une valeur de X = 59. 

Tu as donc 59 pièces.