Réponses

2014-10-07T17:37:23+02:00
I) La règle : Pour multiplier ou diviser deux nombres relatifs la règle est la suivante :La distance à zéro (ou valeur absolue) du résultat s'obtient en multipliant (ou divisant) les distances à zéro des deux nombres.Le signe du résultat s'obtient grâce à la fameuse 'REGLE DES SIGNES' : PLUS par PLUS donne PLUSPLUS par MOINS donne MOINSMOINS par PLUS donne MOINS
MOINS par MOINS donne PLUS
'par' pour 'multiplié par' ou 'divisé par' : la règle des signes est la même pour les deux opérations.Exemples :(+ 3) x (- 5) = (- 15) (+ 2,5) x (+ 3) = (+ 7,5)(- 11) x (- 6) = (+ 66) (- 42) : (+ 7) = (- 6)(- 21) : (- 6) = (+ 3,5) II) Mais pourquoi ?1) La multiplication.La multiplication des nombres relatifs doit conserver les propriétés connues de la multiplication et des nombres : par exemple : (+ 2) x (+ 3) c'est la même chose que 2 x 3 : donc le résultat est 6, ou (+ 6).
(+ 3) x (- 5) c'est la même chose que 3 x (- 5) = (- 5) + (- 5) + (- 5) = (- 15)La multiplication est commutative (on peut changer l'ordre) donc (- 5) x (+ 3) = (- 15) aussi.Ainsi se justifient les trois premières lignes de la 'règle des signes' pour la multiplication.C'est un peu plus compliqué pour la multiplication de deux nombres négatifs.Considérons le calcul :
A = (- 5) x [ (+ 3) + (- 3) ]A = (- 5) x 0 parce que (+ 3) + (- 3) = 0 (somme de deux nombres opposés) A = 0.Mais comme la multiplication est distributive par rapport à l'addition, on a aussiA = (- 5) x (+ 3) + (- 5) x (- 3) donc A = (- 15) + (- 5) x (- 3)Comme on sait que le résultat est A = 0, on en déduit que (- 15) + (- 5) x (- 3) doit être égal à 0.Pour cela il faut que (- 5) x (- 3) = (+ 15) (l'opposé de (- 15) ! )Ainsi se justifie la dernière ligne de la règle des signes pour la multiplication. 2) La division. Une division donne le résultat d'une multiplication à trou :(+8) : (+2)= ? c'est comme ? x (+2) = (+8) ===>? = (+4), donc (+8) : (+2) = (+4)(-15) : (+3)= ? c'est comme ? x (+3) = (-15) ===>? = (-5 ), donc (-15) : (+3) = (-5)(+24) : (-6)= ? c'est comme ? x (-6) = (+24) ===>? = (-4), donc (+24) : (-6) = (-4)(-14) : (-7)= ? c'est comme ? x (-7) = (-14) ===> ? = (+2), donc (-14) : (-7) = (+2) La règle de la division découle donc de la règle sur la multiplication...et la 'règle des signes' est la même. EXERCICE : trouvez le bon résultat ... Attention aux signes !