[URGENT] DM pour demain matin 8h :x

Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour un devoir de mathématique assez difficile voila l'énoncé :

On concidère un récipiant en forme de cône tronqué de hauteur 60 cm, de diamètre de base 30 cm et de diamètre de la partie supérieur 40 cm.
On verse un liquide dans ce récipient et à la hauteur x du liquide dans le récipient on associe son volume V(x).

La question est :

Déterminer l'ensemble de définition V, puis l'expretion de V(x) en fonction de x.

Je suis parvenue a trouver le volume V Qui est de 18500π a partir de la formule :
VcôneTronqué = 1/3*π*(r1²+r2²+r1*r2)*h
VcôneTronqué = 1/3*π*(15²+20²+15*20)*60
VcôneTronqué = 1/3*π*55500
VcôneTronqué = 18500π

Ce qui fait que l'ensemble de définition de la fonction V est [0;18500π]

Mais lorsque qu'il faut de trouver le volume de V(x) en fonction de x sa bloque car je ne peux pas appliqué la formule vue si dessus car on connais la hauteur qui est x, le "r1" qui est 15 mais le "r2" est inconnu.

Merci de bien vouloir m'aider car je suis désespéré. ^^"

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Réponses

2014-10-02T23:09:05+02:00
L'ensemble de définition de V est l'ensemble des valeurs que peut prendre la hauteur dans le récipient. Ici au minimum 0cm (pas d'eau) et au maximum 40cm (le récipient est plein à ras bord)
donc Dv = [0;40]


Calcul de l'angle α :
r1 = 15
r2 = 20
r2-r1 = 5
tan α = différence des rayons/hauteur
tan α = 5/60 = 1/12

donc r2 en fonction de x est :
r2 = 15+x/12
or VcôneTronqué = 1/3*π*(r1²+r2²+r1*r2)*h
d'où
V(x) = 1/3*π*[15²+(15+x/12)²+15*(15+x/12)]*x
V(x) = x/3*π*[225+(225+30x/12+x²/144)+225+15x/12]

V(x) = π * x/3 * (x²/144 + 45x + 675)