Bonjour,

J'aurais besoin d'un peu d'aide sur cette exercice :



Montrer que, pour tout entier naturel n, 5 divise n^5-n.

On pourra écrire le développement de (n+1)^5



Merci d'avance pour votre aide !

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Réponses

2014-10-01T18:42:43+02:00
Bonsoir
On va procéder par récurrence, mais d'abord on développe (n+1)^5
(n+1)^5=n^5+5n^4+10n^3+10n^2+5n+1
récurence
initialisation: je te laisse la faire
hérédité:
on suppose que
n^5-n=5q et on va montrer qu'alors (n+1)^5-(n+1) est multiple de 5.
n^5-n=5q équivaut à n^5=5q+n
(n+1)^5-(n+1)=n^5+5n^4+10n^3+10n^2+5n+1-n-1
=n^5+5n^4+10n^3+10n^2+4n
or n^5=5q+n
donc

(n+1)^5-(n+1)=5q+n+5n^4+10n^3+10n^2+4n
=5q+5n^4+10n^3+10n^2+5n
=5(q+n^4+2n^3+2n^2+n)
donc (n+1)^5-(n+1) est multiple de 5
donc la propriété est démontrée