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2014-10-02T10:05:05+02:00
2) L'aire de ONMP est ONxMN
ON correspond à l'abscisse de M donc ON=x
ONM est rectangle en N. On applique Pythagore :
OM²=ON²+MN²
OM est le rayon du cercle donc OM=4
On a donc MN²=OM²-ON²=4²-x²=16-x²
et MN=√(16-x²)

Donc f(x)=x√(16-x²)

3a) f(x)=x√(16-x²)=√(x²(16-x²))
Or x²(16-x²)=16x²-x^4=64-64+16x-x^4=64-(x²-8)² car (x²-8)²=x^4-16x²+64
Donc f(x)=√(64-(x²-8)²)

3b) On sait que (x²-8)≥0 car un carré est toujours positif
Donc -(x²-8)²≤0 ⇔ 64-(x²-8)²≤64 ⇔ √(64-(x²-8)²)≤8 ⇔ f(x)≤8
Donc le maximum de f est 8
f(x)=8 ⇔
√(64-(x²-8)²)=8 ⇔ 64-(x²-8)²=64 ⇔ x²-8=0 ⇔ x=2√2

3c) Quand x=2√2, MN=√(16-8)=√8=2√2
Donc ON=MN ⇔ ONMP est un carré.

4a) Soit a et b ∈ [0;2√2] tel que a<b
alors a²<b²
⇔a²-8<b²-8 or a et b sont ≤ √8 donc a² et b²≤8 donc a²-8<b²-8<0
Or la fonction x² est décroissante sur IR- donc
(b²-8)²<(a²-8)² ⇔ u(b)<u(a) donc u  est décroissante sur [0;2√2]

4b) si u(x) est décroissante alors -u(x) est croissante car
si a<b sur [0;2√2]
u(b)<u(a)
⇔-u(a)<-u(b)
⇔64-u(a)<64-u(b)
⇔√(64-u(a))<√(64-u(b))
⇔f(a)<f(b) donc f est croissante sur  [0;2√2]

4c)
Soit a et b ∈ [2√2;4] tel que a<b
alors a²<b²
⇔a²-8<b²-8 or a et b sont ≥ √8 donc a² et b²≥8 donc a²-8<b²-8≥0
Or la fonction x² est croissante sur IR+ donc
(a²-8)²<(b²-8)²
⇔-(b²-8)²<-(a²-8)²
⇔ 64-(b²-8)²<64-(a²-8)²
⇔√(64-(b²-8)²)<√(64-(a²-8)²)
⇔f(b) < f(a) donc f est décroissante sur [2√2;4]


4d)
x            0                                    2√2                                    4
f(x)                  croissante                        décroissante