Bonjour, j'ai besoin d'aide pour un devoirs en maths. Il y a 2 exercices, les voicis :
Exercice 1
On note p un nombre entier impair supérieur ou égal à 3.

Partie A
1) explique pourquoi a= (p+1)/2 et b= (p-1)/2 Sont des entiers.

2) Démontrer que a^2-b^2 =p
3) on suppose que a=3. Trouver p puis b.
4) en utilisant ce qui précède, écrire 23 est une différence de deux carrés d'entiers.


Partie B
5) démontrer que a^2 + b^2 = (p^2 +1)/2
6) en déduire que 61 et la somme des carrés de deux entiers que l'on précisera.

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Réponses

2014-09-29T23:15:49+02:00
A)1) Si p est impair, p est de la forme p=2k+1 avec k entier
donc a=(p+1)/2=(2k+2)/2=k+1 est un entier
et b=(p-1)/2=2k/2=k est un entier
 2) a²-b²=(p+1)²/4-(p-1)²/4=1/4*(p²+2p+1-p²+2p-1)=4p/4=p

3) a=3 donc (p+1)/2=3 soit p+1=6 et p=5
et b=(5-1)/2=3

4) si p=23=a²-b²
a=(23+1)/2=12 et b=(23-1)/2=11
Donc 23=12²-11²

5) a²+b²=1/4(p²+2p+1+p²-2p+1)=1/4*(2p²+2)=(p²+1)/2

6) On pose (p²+1)/2=61 soit p²+1=122 et p²=121
Donc p=11
donc a=6 et b=5 donc 6²+5²=61