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2014-09-28T17:52:48+02:00
A) Déterminons les coordonnées des points :
A : (0;0)
B : (2;0)
C : (2;1)
D : (0;1)
E : (3;0)
F : (3;2)
G : (2;2)
I : (1;0)
J : (1;2)
K : (2;4)
L : (1;4)
M : (1;0.5)
N : (2.5;1)
P : (1.5;4)

b) Démontrons que le triangle MNP est rectangle en N :
Un triangle est rectangle si, et seulement si, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Calculons donc MP², NP² et MN² :
MP² = (xP - xM)² + (yP - yM)²
       = (1.5 - 1)² + (4 - 0.5)²
       = 0.5² + 3.5²
       = 0.25 + 12.25
       = 12.5

NP² = (xP - xN)² + (yP - yN)²
       = (1.5 - 2.5)² + (4 - 1)²
       = (-1)² + 3²
       = 1 + 9
       = 10

MN² = (xN - xM)² + (yN - yM)²
       = (2.5 - 1)² + (1 - 0.5)²
       = 1.5² + 0.5²
       = 2.25 + 0.25
       = 2.5

MP² = NP² + MN² , donc MNP est un triangle rectangle en N.

c) Calculons MP, NP et MN.
MP = √12.5
NP = √10
MN = √2.5

Calculons le périmètre du triangle MNP.
P = MP + NP + MN
   = √12.5 + √10 + √2.5
   = √25
   = 5

Le périmètre du triangle MNP est de 5.

Calculons l'aire du triangle MNP.
A = (Base × Hauteur) ÷ 2
   = (MN × NP) ÷ 2
   = (√2.5 × √10) ÷ 2
   = √25  ÷ 2
   = 5 ÷ 2
   = 2.5

L'aire du triangle MNP est de 2.5.