On considère une fonction complexe f qui à tout nombre complexe z distinct de -i associe le nombre complexe z’ définie par : = iz+3/z+i

1. Quelques cas particuliers :Existe-t-il des nombres complexes z tel que f(z) = z ? Soit c = -2+i Monter que c’, image de c par f, est un réel.

2. Des ensembles de points :

On pose z=x+iy et z'=x'+iy' avec x, y, x’ et y’ des réels tels que :

z ' différent de - i. On se place dans un repère orthonormé (O ; u ; v ) du plan

Exprimer x’ et y’ en fonction de x et y. On montrera en particulier que y’ = (x^2+y^2-2y-3)/(x^2+(y+1)^2)

Déterminer l’ensemble E des points M (x;y) du plan tels que z’ soit un imaginaire pur. Représenter l’ensemble E dans le repère (O ; u ; v)

Déterminer l’ensemble F des points M (x;y) du plan tels que z’ soit un réel. Représenter l’ensemble Fdans le repère (O ; u ; v )

Résoudre l’équation f(z) = 1.

Soit K (2 ; 1 ). Justifier sans calcul que K appartient F.

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Réponses

  • Utilisateur Brainly
2012-12-04T22:20:41+01:00

f(z)=z donne iz+3=z^2+iz soit z^2=3 solutions V3 et -V3

 

c'=(i(-2+i)+3)/(-2+i+i)=-1

 

f(z)=[(3-y)+ix]/[x+i(y+1)] on multiplie "haut et bas" par x-i(y+1]

 

ce qui donne x'=[(3-y)x+x(y+1)]/[x^2+(y+1)^2] et y'=[x^2-(y+1)(3-y)]/[x^2+(y+1)^2]

 

z' imaginaire <=> x'=0  <=> (3-y)x+x(y+1)=0 soit 3+x=0 E est la droite x=-3

z' réel <=> y'=0 <=> x^2+y^2-2y-3=0 soit x^2+(y-1)^2=4 F est le cercle de centre (0,1) rayon 2

 

f(z)=1 <=> z+i=iz+3 soit z(1-i)=3-i donc z=(3-i)/(1-i)=2+i

 

donc K d'affixe 1+i a une image réelle, il est donc dans F