Dans un repère orthornormé , on donne les point J(0;1) et A (5;4), M est un point de l'axe des abscisses .

a) Existe-t-il des positions du point M pour lesquelles le triangle JMA est rectangle en M ? Si oui , on donnera ses positions exactes.

b) Comment aurait-on pu repondre géométriquement à cette question sans calcul ?

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Réponses

2014-09-20T12:27:07+02:00
U as un triangle ABM qui doit être rectangle ! 
en général ; 
" pour vérifier qu'un triangle est rectangle ; il suffit d'appliquer le théorème de Pythagore !" 

on nous a donné les coordonnées des points ; donc on cherchera les mesures de côtés et on vérifiera le théorème de Pythagore ! 

la mesure de la distance de deux points A(xa ; ya) et B(xb ; yb) connaissant les coordonnées de ces points est donnée par : AB ² = (xa - xb)² + (yb - ya)² 

donc les mesures des trois côtés seront : 

AB² = (7 - 3)² + (2 + 2)² 

= 4² + 4² 

= 32 


puis : 

AM² = (4 - 3)² + (m + 2)² 

= 1 + (m + 2)² 

et 

BM² = (4 - 7)² + (m - 2)² 

= 9 + (m - 2)² 

donc : 

1èr cas : Pour que le triangle ABM soit rectangle en M : 

AM² + BM² = 1 + (m + 2)² + 9 + (m - 2)² 

= 1 + 9 + (m + 2)² + (m - 2)² 

= 10 + m² + 4 + 4m + m² + 4 - 4m 

= 18 + 2m² 

et donc ce résultat devrait être égal à AB² : 

18 + 2m² = 32 

2m² = 32 - 18 

m² = 14/2 

m = racine carrée de 7 

donc le point M devrait avoir comme coordonnées : M(4 ; racine carrée de 7) 


2ème : le triangle ABM est rectangle en B : 

AB² + BM² = AM² 

32 + 9 + (m - 2)² = 1 + (m + 2)² 

41 + m² + 2² - 4m = 1 + m² + 4 + 4m 

m² - 4m + 45 - 1 - m² - 4 - 4m = 0 

m² - m² - 4m - 4m + 45 - 1 - 4 = 0 

-8m + 40 = 0 

8m = 40 

m = 40/8 

m = 5 

donc le point M aura pour coordonnées : M(4 ; 5) 


3ème cas : ABM est un triangle rectangle en A : 

AM² + AB² = BM² 

1 + (m + 2)² + 32 = 9 + (m - 2)² 

1 + m² + 4 + 4m + 32 = 9 + m² + 4 - 4m 

m² + 4m + 37 = m² - 4m + 13 

m² + 4m + 37 - m² + 4m - 13 = 0 

m² - m² + 4m + 4m + 37 - 13 = 0 

8m + 24 = 0 

8m = -24 

m = -24/8 

m = -3 

donc les coordonnées de M devraient être : M(4 ; -3)
Merci beaucoup :D !!!
D'où t'es venu le point B ?
Mais ce n'est pas les bonnes coordonnées de point ? et he ne voit pas comment tu fait