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Meilleure réponse !
2014-09-19T13:57:26+02:00
1) Soit n≥1
Soit k tel que 1≤k≤n
⇔1≤√k≤√n car la fonction √x est croissante
⇔1/√k≥1/√n car la fonction 1/x est décroissante
Donc quelque soit k tel que 1≤k≤n on a 1/√k≥1/√n

2) On a U1=1≥√1
C'est vrai au rang n
Supposons qu'au rang n on ait Un≥√n
Alors Un+1/√(n+1)≥√n+(1/√(n+1))-√(n+1)
Or √n+(1/√(n+1))-√(n+1)=(√n√(n+1)+1-(n+1))/√(n+1)
√n+(1/√(n+1))-√(n+1)=(√(n(n+1))-n)/√(n+1)=(√(n²(1+1/n))-n)/√(n+1)
√n+(1/√(n+1))-√(n+1)=n(√(1+1/n)-1)/√(n+1)
n≥1 donc n>0
√(n+1)>0
Par ailleurs 1+1/n≥1 donc √(1+1/n)≥1 donc √(1+1/n)-1≥0
Donc √n+(1/√(n+1))-√(n+1)≥0 et √n+(1/√(n+1))≥√(n+1)
On a donc Un+1≥√n+(1/√(n+1))≥√(n+1)
et Un+1≥√(n+1)
donc quelque soit n Un≥√n

3) √n tend vers +oo donc Un tend vers +oo