Bonsoir, je suis au bout de ma vie. Je poste ce dm au cas où un génie se trouverait sur ce site et comprendrai quelque chose à ce truc...

1
ton prof est un ouf
Je suis tout à fait d'accord ! Qu'est ce que je suis allée foutre en s ? Telle est la question.
Bonsoir, il y a au moins vingt ans, les filieres scientifiques etaient plus difficilement accessibles. Je te souhaite bon courage. ;-)
Merci mais ça me remonte pas vraiment le moral ^^
lol

Réponses

2014-09-13T21:29:07+02:00
Bonsoir,

Ex 1
1)La fonction f est définie quand le terme sous la racine est strictement positif (car un radicande doit toujours être positif et s'il est nul, alors le dénominateur de l'écriture fractionnaire serait également nul ce qui est interdit).
On peut le factoriser : x²-25 = (x+5)(x-5). Puis on fait un tableau de signes, et on trouve
D_f = \left]-\infty ; -5\right[ \cup \left] 5 ; +\infty\right[

2)Si a et b sont des réels appartenant à l'intervalle d'étude, avec a < b, on peut écrire :
5 < a < b \\&#10;25 < a^2 < b^2\\&#10;0 < a^2-25 < b^2-25\\&#10;0 < \sqrt{a^2-25} < \sqrt{b^2-25}\\&#10;\frac{1}{\sqrt{a^2-25}} > \frac{1}{\sqrt{b^2-25}}\\&#10;\frac{-4}{\sqrt{a^2-25}} < \frac{-4}{\sqrt{b^2-25}}\\&#10;\frac{-4}{\sqrt{a^2-25}} +2< \frac{-4}{\sqrt{b^2-25}}+2\\&#10;f\left(a\right)< f\left(b\right)\\
Ce qui termine la démonstration.

Ex 2
1)
On peut se ramener à deux cas différents.
Premier cas :
5x+7 = 3-2x\\&#10;7x = -4\\&#10;x = -\frac 47
Second cas :
5x+7 = 2x-3\\&#10;3x = -10\\&#10;x = -\frac{10}{3}
D'où
S = \left\{-\frac{10}{3} ; -\frac 47\right\}

2)
Il faut réaliser un tableau de signes pour les contenus des différentes valeurs absolues puis raisonner par disjonction de cas.
On sait que 2x-3 est positif quand x > 3/2 et 5-x est positif quand x < 5. On peut donc résoudre sur plusieurs intervalles.

Quand x ≤ 3/2
Cela revient à écrire :
3-2x -3\left(5-x\right) < 0\\&#10;3-2x -15+3x < 0\\&#10;x -12 < 0\\&#10;x < 12\\&#10;S_1 = \left] -\infty ; 12\right[ \cap \left]-\infty ; \frac 32\right] = \left]-\infty ; \frac 32\right]

Quand 3/2 ≤ x ≤ 5

2x-3-3\left(5-x\right) <0\\&#10;2x-3-15+3x < 0\\&#10;5x-18 <0\\&#10;x < \frac{18}{5}\\&#10;S_2 = \left[\frac 32 ; 5\right] \cap \left]-\infty ; \frac {18}{5}\right] = \left[\frac 32 ; \frac{18}{5}\right[

Quand x > 5

2x-3-3\left(x-5\right) <0\\&#10;2x-3-3x+15 < 0\\&#10;-x+12 < 0\\&#10;x > -12\\&#10;S_3 = \left]-12;+\infty \right[ \cap \left[5 ; +\infty\right[ = \left[5;+\infty\right[

On a donc
S = S_1\cup S_2\cup S_3 = \left]-\infty;\frac{18}{5}\right[ \cup \left[5;+\infty\right[

Ex 3

1)Il faut développer cette expression. On trouve que (b-a)(b²+ab+a²) = a³-b³

2)
\forall \left(a,b\right)\in \mathbb R ^2,\\&#10;g\left(b\right)-g\left(a\right) = b^3+2b-5-a^3-2a+5\\&#10;g\left(b\right)-g\left(a\right) =b^3-a^3+2\left(b-a\right)\\&#10;g\left(b\right)-g\left(a\right) =\left(b-a\right)\left(b^2+ab+a^2\right)+2\left(b-a\right)\\&#10;g\left(b\right)-g\left(a\right) =\left(b-a\right)\left(b^2+ab+a^2+2\right)

3)
On suppose a < b
a)
Si a et b sont négatifs :
On a donc :
g(b)-g(a) = (b-a)(b²+ab+a²+2).
b-a est strictement positif car a < b
b²+ab+a²+2 est une somme de nombres positifs qui est toujours positive.
Donc g(b)-g(a) >0 , g(b) > g(a). Comme b > a, g est croissante sur R-.

b)Si a et b sont positifs :
b-a est positif et b²+ab+a²+2 est strictement positif. Donc g(b)-g(a) > 0 et g est strictement croissante sur l'intervalle.

4)Comme ces deux intervalles ont un point commun (0), on en déduit que g est strictement croissante sur R.

Si tu as des questions, n'hésite pas ! =)
Pourquoi on a donc
S = S_1\cup S_2\cup S_3 = \left]-\infty;\frac{18}{5}\right[ \cup \left[5;+\infty\right[ ?
Euh pardon pourquoi à la question 2 de l'exo 2, tu trouves ce résultat ? Je ne comprend pas comment tu s'electionnes les intervalles bonnes
Tu peux m'expliquer stp ?