Bonsoir, mon prof de maths nous a donner ca à résoudre et personne dans la classe voit comment faire ! Donc, j'ai besoin d'aide, en plus c'est noté !

Démontrer que racine de 2 n'appartient pas à Q
( Q c'est l'ensemble des nombres rationnels )

Merci !

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Réponses

2014-09-10T18:29:08+02:00
Je n'en suis pas sur, mais voici ce que je pense: 
Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'exprimer comme le quotient de deux entiers relatifs. Les nombres rationnels non entiers sont souvent notés a/b, où a et b sont deux entiers relatifs ( b non nul). On ne peut pas exprimer la racine de 2 de cette maniere.
C'est pas bête du tout ... Mais je pensais que la racine de 2 est en fait un nombre irrationnel et que du coup il pouvait pas être rationnel ! Tu comprends ce que je veux dire ? x) En tout cas, merci je vais mettre ton idée et la mienne ! :D
Oui, je comprends, et je crois que tu as aussi raison :) Si tu veux, tu peux ajouter mon truc a ta réponse :)
2014-09-10T18:41:22+02:00
Bonsoir
Il faut d'abord démontrer que si  n² est pair alors n est pair
L'astuce est de démontrer la contraposée: "si n est impair alors n² est impair"
 et on conclut que la proposition est vraie:
n impair, donc il existe m tel que n=2m+1
(2m+1)²= 4m²+4m+1= 2(2m²+m)+1, donc (2m+1)² est impair donc n² est impaire.
donc la contraposée est vraie, donc la proposition "si n² est pair alors n est pair" est vraie.

Ensuite voici la démonstration:
On fait une démonstration par l’absurde
On suppose que racine(2) est un nombre rationnel c’est-à-dire qu’il peut s’écrire sous forme d’une fraction irréductible.
soit a/b cette fraction a/b= racine(2)
donc (a/b)²= 2
donc a²/b²=2
donc a²=2b²
donc a² est pair
donc a est pair (propriété qu’on a démontré tout à l’heure)
donc il existe c tel que a =2c
donc 2c/b=racine(2)
donc 4c²/b²=2
donc 4c²=2b²
donc 2c²=b²
donc b² est pair, donc b pair
or ceci est absurde car si a et b sont pairs alors a/b n’est pas irréductible.
Donc l’hypothèse de départ est fausse, donc sa négation est vraie : racine(2) n’est pas un nombre rationnel