Bonsoir tout le monde, alors voilà j'ai un exercice de maths mais je suis bloquée sur une partie.Voici l'énoncé;
Pour tout n >= ( supérieur ou égal) à 0on a 7*3^(5n) +4 est divisible par 11
Initialisation:Vérifions la formule pour n=0On a 7*3^(5*0) +4 = 11 qui est bien divisible par 11.La propriété est donc vrai pour n=0

Hérédité:Soit n>= 0Supposons que la propriété soit vraie au rang n , c’est à dire qu'il existe un entier k tel que:7*3^(5n)+4 = 11k
Mq la propriété est vraie au rang n+1Cad, qu'il existe un entier h tel que : 7*3^[5(n+1)] + 4 =11h
On a; 7*3^[5(n+1)]+4
Ensuite je suis coincée, je ne sais pas par où commencer

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Réponses

Meilleure réponse !
2014-09-10T01:02:57+02:00
Bonsoir,
7*3^(5n)+4 = 11k
donc

7*3^(5n)=11k-4
d'autre part
7*3^[5(n+1)]+4 = 7*3^(5n)*3^5 +4
= (11k-4)*3^5 +4
= 11k*3^5 -4*3^5 +4
= 11k*3^5 - 972 +4
= 11k*3^5 - 968
= 11k*3^5 - 11*88
= 11(3^5*k - 88)
Donc la propriété est vérifiée

2014-09-10T02:46:37+02:00
7*3^(5(n+1)) + 4 = 7 * 3^5 * 3^(5n) +4
=[7 * 3^5 *3^(5n) +4 * 3^5] - 4*3^5+4
=(3^5)*[7*3^(5n) +4] - 4*81*3+4
=(3^5)*[7*3^(5n) +4] - 4*(81*3-1)
=(3^5)*[7*3^(5n) +4] - 4*242
Or [7*3^(5n) +4] est divisible par 11 selon l'hypothèse de récurrence et 242 est divisible par 11 (=22*11). La somme ci-dessus est à son tour divisible par 11