J'ai déjà des réponses j'aimerais savoir si c'est bon aussi Merci d'avance

Dans une réserve, une population initiale de 1 000 animaux évolue ainsi : chaque année 20% des animaux disparaissent (c'est le bilan global des naissances et des décès) et on introduit 120 animaux supplémentaires.On note Pn, le nombre d'animaux vivant au bout de n années.
1) Calculer p1, p2, p31B) La suite (pn) est elle arithmétique ? géométrique ? justifier. 2) Justifier que la suite (pn) est définie par: P0 = 1000 et et la relation de récurrence: Pn+1 = 0.8 Pn + 120, pour tout entier naturel. 3a) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, pn supérieur ou égale à 600. On dit que la suite (Pn) est minorée par 600. 3B) Prouver alors que la suite (Pn) est décroissante. 4a) Soit (Vn) la suite définie par Vn = Pn - 600 pour tout entier naturel n. Démontrer que la suite (Vn) est une suite géométrique, dont on précisera la raison. 4b) En d"duire Vn puis Pn en fonction de n.4c) Calculer p10, p20, p30; p40, p50. Que conjecturez-vous ?

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Réponses

Meilleure réponse !
2014-09-06T16:24:32+02:00
1)
p0 = 1000
p1 = 1000 x 0,8 + 120 = 920
p2 = 920 x 0,8 + 120 = 856
p3 = 856 x 0,8 + 120 = 804,8

B)

Pour passer d'un terme à l'autre on multiplie le terme précédent par une constante puis on ajoute une autre constante. Pn n'est ni géométrique ni arithmétique, elle est arithmético-géométrique

2) Le nombre d'animaux au début est 1000 donc p0 = 1000
20% des animaux de l'année précédente disparaissent donc on multiplie le nombre d'animaux de l'année précédente par 0,8. On introduit 120 animaux supplémentaire donc on fait +120

D'où : 
P_n_+_1=0,8p_n+120

3)
On va montrer par récurrence que pn > 600
Initialisation : on vérifie pour n= 0
p0 = 1000 
p0 > 600

Hérédité : on suppose que pn > 600, on démontre que p (n+1) > 600
p_n>600\\
0,8p_n>480\\
0,8p_n+120>600\\
p_n_+_1>600

D'après l'axiome de récurrence, pn > 600


p_n_+_1-p_n=0,8p_n+120-p_n = -0,2p_n+120

on pose  f(x) = -0,2x + 120
La suite f est décroissante car son coefficient directeur est négatif. 
Par analogie,  la suite pn est elle aussi décroissante

4a)
Vn = Pn - 600
V(n+1) = P(n+1) - 600
V(n+1) = 0,8 Pn + 120 - 600
V(n+1) = 0,8 Pn - 480
V(n+1) = 0,8 (Pn - 600)
V(n+1) = 0,8 Vn

Vn est une suite géométrique de raison 0,8 est de premier terme 
V0 = P0 - 600 = 1000 - 600 = 400

V_n=400\times0,8^n\\\\
P_n=V_n+600\\
P_n = 400\times0,8^n+600

P_1_0 = 400\times0,8^{10}+600\approx642,9\\
P_2_0 = 400\times0,8^{20}+600\approx604,6\\
P_3_0 = 400\times0,8^{30}+600\approx600,5\\
P_4_0 = 400\times0,8^{40}+600\approx600,05\\
P_5_0 = 400\times0,8^{50}+600\approx600,001\\

 \lim_{n \to \infty} P_n =600

On en déduit qu'à long terme, la population d'animaux sera de 600 individus.