Bojours
j ai devoirs tres difficile merci de votre aide

Karl Friedrick Gauss (1777 – 1855) était un mathématicien, astronome et physicien allemand de génie.

Surnommé « le prince des mathématiciens », il montra dès l’école primaire des qualités extraordinaires pour le
calcul : alors que son maître demandait aux élèves de la classe de calculer la somme de tous les nombres entiers de 1 à
100, il mit seulement quelques instants pour inscrire 5 050 sur son ardoise… et c’était bien le résultat de cette somme !
Pour calculer aussi rapidement la somme S = 1+2+3+…+98+99+100, le jeune Gauss pensa à regrouper astucieusement les
nombres de la façon suivante : S = (1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(49+52)+(50+51)
Ainsi : S = 101+101+101+…+101+101. S étant la somme de 50 termes tous égaux à 101, il ne restait plus au jeune Gauss qu’à
faire mentalement un seul produit : 50 .101 =5 050.

a)
Calculer (astucieusement) les sommes suivantes :
S1 = 1+2+3+4+…+298+299+300
S2 = 1+2+3+…+2 010+2 011+2 012


b)
On considère la somme suivante :

S3 = 5+6+7+…+68+69+70
.Combien de termes a la somme S3 ?
.Calculer (astucieusement) S3.

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Réponses

2014-09-05T14:03:16+02:00
A) On a vu que Gauss a regroupé par 2 tous les termes de la somme. 
S1 a 300 termes, si tu les regroupes comme Gausse cela donne :
S1 = (1 + 300) + (2 + 299) + ... (150 + 151)
Les termes regroupés par 2 donnent tous 301. Il y a 150 termes qui donnent 301 (de 1 à 300, il y a 300 termes qu'on a regroupé par 2, 300 = 150 x 2)

Il ne reste plus qu'à multiplier 150 par 301 : 150 x 301 = 45 1250

Pour S2, même raisonnement. de 1 à 2012 il y a 2012 termes, on les regroupe par 2 : 
S2 = (1 + 2012) + (2 + 2011) + ... (1006 + 1007)
Cela donne 1006 termes qui ont pour somme 2013. 1006 x 2013 = 2025078

b) Même raisonnement :
S3 = 5 + 6 + 7 + ... + 70
S3 = (5 + 70) + (6 + 69) + (7 + 68) + ... (37+38)
Cela donne 33 termes qui ont pour somme 75. 33 x 75 = 2475