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2014-09-02T15:05:49+02:00
1)a) Uo=5
U1=(4*5-1)/(5+7)=19/7≈2,714
U2=(4*19/7-1)/(19/7+2)=69/33≈2,091
U3=(4*69/33-1)/(69/33+2)=243/135=9/5=1,8
Tu dois donc placer les points
Mo(0;5)
M1(1;19/7)
M2(2;69/33)
M3(3;1,8)

1)b) On peut conjecturer que Un est décroissante et convergente.

2)a) Pour n=0, on a bien Uo-1=5-1=4>0
Supposons qu'au rang n (n∈ IN), on ait Un-1>0
U_{n+1}-1=\frac{4U_{n}-1}{U_{n}+2}-1=\frac{4U_{n}-1-U_{n}-2}{U_{n}+2}

 U_{n+1}-1= \frac{3(U_{n}-1)}{(U_{n}+2)}

Par hypothèse, Un-1>0. On a aussi Un+2>3>0
Donc  U_{n+1}-1 \geq 0

On a démontré par récurrence que quelque soit n,  U_{n}-1 \geq 0

2b) Comme on sait que Un-1>0, on a quelque soit n, Un>1 donc Un est minorée.
Par ailleurs, on note que Un+2>3>0.
U_{n+1}-U_{n}=\frac{4U_{n}-1}{U_{n}+2}-U_{n}=\frac{4U_{n}-1-Un(Un+2)}{U_{n}+2}

U_{n+1}-U_{n}=\frac{4U_{n}-1-U_{n}^{2}-2U_{n}}{U_{n}+2}

U_{n+1}-U_{n}=\frac{-(Un^{2}-2Un+1)}{Un+2}=-\frac{(Un-1)^{2}}{Un+2}

Comme (Un-1)²>0 et Un+2>0, on a U_{n+1}-U_{n} \leq 0

Donc Un est décroissante.
Un est décroissante et minorée donc elle converge.

3)a)
V_{n+1}-Vn= \frac{1}{U_{n+1}-1}-\frac{1}{Un-1}

On a vu au 2a) que  U_{n+1}-1= \frac{3(U_{n}-1)}{(U_{n}+2)}

Donc V_{n+1}-Vn=\frac{Un+2}{3(Un-1)}-\frac{1}{Un-1}=\frac{Un+2-3}{3(Un-1)}

V_{n+1}-Vn= \frac{Un-1}{3(Un-1)}= \frac{1}{3}

Donc Vn est une suite arithmétique de raison 1/3.

3)b) Vo=1/(Uo-1)=1/4
Donc Vn=Vo+n*1/3=1/4+n/3

Un=1/Vn+1

Un=12/(3+4n)+1

3)c) Donc quand n tend vers +oo, 12/(3+4n) tend vers 0 et Un tend vers 1
La limite de Un est 1.