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2014-08-30T17:09:26+02:00
Bonjour,

c)
D'après l'encadrement d'α, on sait que cos α ≤ 0 et sin α ≥ 0.
On a tg α = -1, donc
\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = -1\\
\sin \alpha = -\cos \alpha
De plus,
\sin^2 \alpha +\cos ^2\alpha = 1\\
\cos ^2\alpha +\left(-\cos \alpha\right)^2 = 1\\
2\cos^2 \alpha = 1\\
\cos^2 \alpha = \frac 12\\
\cos \alpha = -\frac{\sqrt 2}{2}
Car cos α ≤ 0
On en déduit :
\sin \alpha = -\cos \alpha = \frac{\sqrt 2}{2}\\
\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}  = -1

d)
D'après l'encadrement d'α, on sait que cos α ≤ 0 et sin α ≥ 0.
\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = -\frac{\sqrt 3}{3}\\
\cos \alpha = -\frac{\sqrt 3}{3} \sin \alpha\\
\cos ^2 \alpha +\sin ^2 \alpha = 1\\
\left(-\frac{\sqrt 3}{3} \sin \alpha\right)^2 +\sin ^2\alpha = 1\\
\frac 13\sin ^2 \alpha+\sin^2 \alpha = 1\\
\frac 43\sin^2 \alpha = 1\\
\sin^2 \alpha = \frac 34\\
\sin \alpha = \sqrt{\frac 34} = \frac{\sqrt 3}{2}\\
\cos \alpha = -\frac{\sqrt 3}{3} \sin \alpha = -\frac 12\\
\tan \alpha = \frac{1}{\cot \alpha} = \frac{1}{-\frac{\sqrt 3}{3}} = -\sqrt 3

Si tu as des questions, n'hésite pas ! =)

2014-08-30T18:01:30+02:00
C) Si l'angle alpha appartient au quadran (pi/2,pi) alors son cosinus est négatif et son sinus positif donc sa tangente négative comme c'est le cas ici car la tangente est égale à -1
Tangente=sinus/cosinus
Donc tgte alpha = -1  implique que sinus alpha=-cosinus alpha
Donc le cosinus et le sinus sont égaux en valeur absolue
L'angle dont le cosinus et le sinus ont la même valeur absolue et qui appartient au cadran(pi/2;pi) est l'angle 3pi/4 radians=135° dont le cosinus=-V2/2  et le sinus=V2/2

d) cotg =-V3/3=cosinus/sinus
Elevons au carré , on a : 3/9=cosinus^2/sinus^2
Donc 1/3=cosinus^2/sinus^2
Donc 3 cosinus^2 alpha=sinus^2 alpha
Donc 3 cosinus^2 alpha=1- cosinus^2 alpha    car cos^2+sin^2=1
Donc 4 cosinus^2 alpha=1
Donc cosinus^2 alpha=1/4
Donc cosinus alpha=1/2    ou cosinus alpha=-1/2
On sait que le cosinus est négatif car alpha appartient à (pi/2;pi)
Donc la seule solution est cosinus alpha=-1/2
Donc sinus alpha=V3/2
Donc la tangent de alpha=(V3/2)/-1/2=-V3
Donc alpha=2pi/3 radians=120°
merci c'est très gentil mais comment tu trouve V2/2 et - V2/2 avec les degrés?
Excuse moi , je ne comprends pas la question . V2/2 et -V2/2 sont les valeurs du sinus et du cosinus de l'angle 3pi/4 radians
3pi/4 radians=135°