On considère la suite u définie sur N par U0=3 et pour tout entier n, Un+1=3Un +2.
Démontrer que pour tout entier n : Un = 4 * 3∧n -1

Je ne veux pas qu'on m'aide a tout faire, juste une piste svp

C'est l'exo 38

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On peut aussi faire le raisonnement par récurrence. On vérifie que la propriété est vraie au rang 0: ça donne U(0)=4. Puis on suppose la propriété vraie au rang n et on montre qu'elle est vraie au rang n+1.
Il faut donc prouver que U(n+1)=4*3^(n+1) -1
U(n+1)=3U(n) +2= 3*(4 * 3∧n -1)+2=4*3^(n+1) -3+2= 4*3^(n+1) -1. Donc la propriété est prouvée
pardon ça donne U0=3
J'ai pas vraiment compris mais je vais essayer de le refaire! Merci

Réponses

2014-08-27T15:44:10+02:00
Sinon U(n) est une suite arithmético géométrique, le terme précédent est multiplié par 3 et on ajoute 2.
Donc il faut construire une suite auxiliaire V(n) définie en fonction de Un, qui, elle, soit géométrique.
Vu l'expression à laquelle on veut arriver: Un = 4 * 3∧n -1, il faut que V(n)=4*3^n, soit que la suite Vn ait pour premier terme V(0)=4 et pour raison: 3.

Donc on pose Vn= U(n)+1, et on prouve que la suite Vn est géométrique de raison 3 et de premier terme 4.
Donc V(n)= 4 * 3∧n
Ensuite comme Vn= U(n)+1, alors U(n)=V(n) – 1, et on trouve l’expression demandée .